Estatísticas - Equação de regressão quadrática

A regressão quadrática é implantada para descobrir uma equação da parábola que pode se ajustar melhor a um determinado conjunto de dados. É da seguinte forma:

$ {y = ax ^ 2 + bx + c \ onde \ a \ ne 0} $

O método dos mínimos quadrados pode ser usado para descobrir a equação de regressão quadrática. Neste método, encontramos o valor de a, b e c de modo que a distância vertical ao quadrado entre cada ponto dado ($ {x_i, y_i} $) e a equação da parábola ($ {y = ax ^ 2 + bx + 2} $) é mínimo. A equação da matriz para a curva parabólica é dada por:

$ {\ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 4 & \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 \\ \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i \\ \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i & n \ end {bmatriz} \ begin {bmatrix} a \\ b \\ c \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 2 {y_i} \\ \ sum x_iy_i \\ \ sum y_i \ end {bmatriz}} $

Coeficiente de correlação, r

O coeficiente de correlação, r determina o quão bem uma equação quardrática pode se ajustar aos dados fornecidos. Se r for próximo de 1, é um bom ajuste. r pode ser calculado pela seguinte fórmula.

$ {r = 1 - \ frac {SSE} {SST} \ onde \\ [7pt] \ SSE = \ sum (y_i - a {x_i} ^ 2 - bx + i - c) ^ 2 \\ [7pt] \ SST = \ sum (y_i - \ bar y) ^ 2} $

Geralmente, calculadoras de regressão quadrática são usadas para calcular a equação de regressão quadrática.

Exemplo

Problem Statement:

Calcule a equação de regressão quadrática dos dados a seguir. Confira seu melhor condicionamento físico.

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 7,5 3 0,5 1 3 6 14

Solution:

Calcule uma regressão quadrática na calculadora colocando os valores xey. A equação quadrática de melhor ajuste para os pontos acima vem como

$ {y = 1,1071x ^ 2 + 0,5714x} $

Para verificar o melhor condicionamento físico, plote o gráfico.

Portanto, o valor do Coeficiente de correlação, r para os dados é 0,99420 e está próximo de 1. Portanto, a equação de regressão quadrática é o melhor ajuste.