Estatística - Teorema de Chebyshev

A fração de qualquer conjunto de números dentro de k desvios-padrão desses números da média desses números é de pelo menos

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2}} $

Onde -

  • $ {k = \ frac {the \ within \ number} {the \ standard \ deviation}} $

e $ {k} $ deve ser maior que 1

Exemplo

Problem Statement:

Use o teorema de Chebyshev para descobrir qual porcentagem dos valores ficará entre 123 e 179 para um conjunto de dados com média de 151 e desvio padrão de 14.

Solution:

  • Subtraímos 151-123 e obtemos 28, o que nos diz que 123 é 28 unidades abaixo da média.

  • Subtraímos 179-151 e também obtemos 28, o que nos diz que 151 é 28 unidades acima da média.

  • Esses dois juntos nos dizem que os valores entre 123 e 179 estão todos dentro de 28 unidades da média. Portanto, o "número interno" é 28.

  • Assim, encontramos o número de desvios padrão, k, ao qual o "número interno", 28, equivale ao dividi-lo pelo desvio padrão:

$ {k = \ frac {the \ within \ number} {the \ standard \ deviation} = \ frac {28} {14} = 2} $

Portanto, agora sabemos que os valores entre 123 e 179 estão todos dentro de 28 unidades da média, que é o mesmo que dentro de k = 2 desvios-padrão da média. Agora, como k> 1, podemos usar a fórmula de Chebyshev para encontrar a fração dos dados que estão dentro de k = 2 desvios padrão da média. Substituindo k = 2, temos:

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2} = 1- \ frac {1} {2 ^ 2} = 1- \ frac {1} {4} = \ frac {3} {4}} $

Então $ {\ frac {3} {4}} $ dos dados estão entre 123 e 179. E como $ {\ frac {3} {4} = 75} $% isso implica que 75% dos valores dos dados estão entre 123 e 179.