Estatísticas - Distribuição Gama

A distribuição gama representa distribuições de probabilidade contínuas da família de dois parâmetros. As distribuições gama são concebidas geralmente com três tipos de combinações de parâmetros.

  • Um parâmetro de forma $ k $ e um parâmetro de escala $ \ theta $.

  • Um parâmetro de forma $ \ alpha = k $ e um parâmetro de escala inversa $ \ beta = \ frac {1} {\ theta} $, chamado de parâmetro de taxa.

  • Um parâmetro de forma $ k $ e um parâmetro médio $ \ mu = \ frac {k} {\ beta} $.

Cada parâmetro é um número real positivo. A distribuição gama é a distribuição de probabilidade máxima de entropia conduzida pelos seguintes critérios.

Fórmula

$ {E [X] = k \ theta = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ gt 0 \ e \ is \ fixed. \\ [7pt] E [ln (X)] = \ psi (k) + ln (\ theta) = \ psi (\ alpha) - ln (\ beta) \ e \ é \ fixo. } $

Onde -

  • $ {X} $ = Variável aleatória.

  • $ {\ psi} $ = função digamma.

Caracterização usando forma $ \ alpha $ e taxa $ \ beta $

Função densidade de probabilidade

A função de densidade de probabilidade da distribuição Gama é dada como:

Fórmula

$ {f (x; \ alpha, \ beta) = \ frac {\ beta ^ \ alpha x ^ {\ alpha - 1} e ^ {- x \ beta}} {\ Gamma (\ alpha)} \ onde \ x \ ge 0 \ e \ \ alpha, \ beta \ gt 0} $

Onde -

  • $ {\ alpha} $ = parâmetro de localização.

  • $ {\ beta} $ = parâmetro de escala.

  • $ {x} $ = variável aleatória.

Função de distribuição cumulativa

A função de distribuição cumulativa da distribuição Gama é dada como:

Fórmula

$ {F (x; \ alpha, \ beta) = \ int_0 ^ xf (u; \ alpha, \ beta) du = \ frac {\ gamma (\ alpha, \ beta x)} {\ Gamma (\ alpha)} } $

Onde -

  • $ {\ alpha} $ = parâmetro de localização.

  • $ {\ beta} $ = parâmetro de escala.

  • $ {x} $ = variável aleatória.

  • $ {\ gamma (\ alpha, \ beta x)} $ = função gama incompleta inferior.

Caracterização usando forma $ k $ e escala $ \ theta $

Função densidade de probabilidade

A função de densidade de probabilidade da distribuição Gama é dada como:

Fórmula

$ {f (x; k, \ theta) = \ frac {x ^ {k - 1} e ^ {- \ frac {x} {\ theta}}} {\ theta ^ k \ Gamma (k)} \ onde \ x \ gt 0 \ e \ k, \ theta \ gt 0} $

Onde -

  • $ {k} $ = parâmetro de forma.

  • $ {\ theta} $ = parâmetro de escala.

  • $ {x} $ = variável aleatória.

  • $ {\ Gamma (k)} $ = função gama avaliada em k.

Função de distribuição cumulativa

A função de distribuição cumulativa da distribuição Gama é dada como:

Fórmula

$ {F (x; k, \ theta) = \ int_0 ^ xf (u; k, \ theta) du = \ frac {\ gamma (k, \ frac {x} {\ theta})} {\ Gamma (k )}} $

Onde -

  • $ {k} $ = parâmetro de forma.

  • $ {\ theta} $ = parâmetro de escala.

  • $ {x} $ = variável aleatória.

  • $ {\ gamma (k, \ frac {x} {\ theta})} $ = função gama incompleta inferior.