Estatísticas - Teorema do Aditivo de Probabilidade

Para eventos mutuamente exclusivos

O teorema aditivo de probabilidade afirma que se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, então a probabilidade de A ou B é dada por

$ {P (A \ ou \ B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] P (A \ xícara B) = P (A) + P (B)} $

O teorema pode ser estendido a três eventos mutuamente exclusivos também como

$ {P (A \ xícara B \ xícara C) = P (A) + P (B) + P (C)} $

Exemplo

Problem Statement:

Uma carta é retirada de um baralho de 52, qual é a probabilidade de ser um rei ou uma rainha?

Solution:

Let Event (A) = Draw de uma carta do rei

Evento (B) Compra de uma carta da rainha

P (carta retirada é rei ou rainha) = P (carta é rei) + P (carta é rainha)

$ {P (A \ xícara B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ [7pt] = \ frac {1} {13} + \ frac {1} {13} \\ [7pt] = \ frac {2} {13}} $

Para eventos não mutuamente exclusivos

Caso haja a possibilidade de ocorrerem ambos os eventos, o teorema aditivo é escrito como:

$ {P (A \ ou \ B) = P (A) + P (B) - P (A \ e \ B) \\ [7pt] P (A \ xícara B) = P (A) + P (B ) - P (AB)} $

Exemplo

Problem Statement:

Um atirador é conhecido por acertar um alvo em 3 de 7 tiros; afiar outro atirador é conhecido por acertar o alvo 2 de 5 tiros. Encontre a probabilidade de o alvo ser atingido quando ambos tentarem.

Solution:

Probabilidade do primeiro atirador atingir o alvo P (A) = $ {\ frac {3} {7}} $

Probabilidade do segundo atirador atingir o alvo P (B) = $ {\ frac {2} {5}} $

Os eventos A e B não são mutuamente exclusivos, pois ambos os atiradores podem acertar o alvo. Portanto, a regra aditiva aplicável é

$ {P (A \ xícara B) = P (A) + P (B) - P (A \ cap B) \\ [7pt] = \ frac {3} {7} + \ frac {2} {5} - (\ frac {3} {7} \ times \ frac {2} {5}) \\ [7pt] = \ frac {29} {35} - \ frac {6} {35} \\ [7pt] = \ frac {23} {35}} $