Estatística - Teorema Multiplicativo de Probabilidade

Para eventos independentes

O teorema afirma que a probabilidade de ocorrência simultânea de dois eventos independentes é dada pelo produto de suas probabilidades individuais.

$ {P (A \ e \ B) = P (A) \ vezes P (B) \\ [7pt] P (AB) = P (A) \ vezes P (B)} $

O teorema pode ser estendido a três ou mais eventos independentes também como

$ {P (A \ cap B \ cap C) = P (A) \ vezes P (B) \ vezes P (C) P (A, B \ e \ C) = P (A) \ vezes P (B) \ times P (C)} $

Exemplo

Problem Statement:

Uma faculdade deve nomear um professor que deve ter bacharelado, MBA e doutorado em D, cuja probabilidade é $ {\ frac {1} {20}} $, $ {\ frac {1} {25} } $ e $ {\ frac {1} {40}} $ respectivamente. Encontre a probabilidade de fazer com que tal pessoa seja indicada pelo colégio.

Solution:

Probabilidade de uma pessoa ser B.Com.P (A) = $ {\ frac {1} {20}} $

Probabilidade de uma pessoa ser MBA P (B) = $ {\ frac {1} {25}} $

Probabilidade de uma pessoa ser um Ph.DP (C) = $ {\ frac {1} {40}} $

Usando o teorema multiplicativo para eventos independentes

$ {P (A, B \ e \ C) = P (A) \ vezes P (B) \ vezes P (C) \\ [7pt] = \ frac {1} {20} \ vezes \ frac {1} {25} \ vezes \ frac {1} {40} \\ [7pt] = 0,05 \ vezes 0,04 \ vezes 0,025 \\ [7pt] = 0,00005} $

Para eventos dependentes (probabilidade condicional)

Conforme definido anteriormente, eventos dependentes são aqueles em que as ocorrências ou não ocorrências de um evento afetam o resultado do próximo evento. Para tais eventos, o teorema multiplicativo declarado anteriormente não é aplicável. A probabilidade associada a tais eventos é chamada de probabilidade condicional e é dada por

P (A / B) = $ {\ frac {P (AB)} {P (B)}} $ ou $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}} $

Leia P (A / B) como a probabilidade de ocorrência do evento A quando o evento B já ocorreu.

Da mesma forma, a probabilidade condicional de B dado A é

P (B / A) = $ {\ frac {P (AB)} {P (A)}} $ ou $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (A)}} $

Exemplo

Problem Statement:

Uma moeda é lançada 2 vezes. O lance resultou em uma cabeça e uma cauda. Qual é a probabilidade de que o primeiro lance resultou em uma cauda?

Solution:

O espaço amostral de uma moeda lançada duas vezes é dado como S = {HH, HT, TH, TT}

Seja o Evento A o primeiro lançamento resultando em cauda.

O evento B é que uma cauda e uma cabeça ocorreram.

$ {P (A) = \ frac {P (TH, TT)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {2} {4} = \ frac {1} {2} \\ [ 7pt] P (A \ cap B) = \ frac {P (TH)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {1} {4} \\ [7pt] Então \ P (A / B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (A)} \\ [7pt] = \ frac {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {2}} \\ [7pt] = \ frac {1} {2} = 0,5} $