Estatísticas - Distribuição Binomial Negativa
A distribuição binomial negativa é uma distribuição de probabilidade do número de ocorrências de sucessos e falhas em uma sequência de trilhas independentes antes que um número específico de sucessos ocorra. A seguir estão os pontos-chave a serem observados sobre um experimento binomial negativo.
O experimento deve ser de x tentativas repetidas.
Cada trilha tem dois resultados possíveis, um para o sucesso, outro para o fracasso.
A probabilidade de sucesso é a mesma em todas as tentativas.
A saída de uma tentativa é independente da saída de outra trilha.
O experimento deve ser realizado até que r sucessos sejam observados, onde r é mencionado de antemão.
A probabilidade de distribuição binomial negativa pode ser calculada usando o seguinte:
Fórmula
${ f(x; r, P) = ^{x-1}C_{r-1} \times P^r \times (1-P)^{x-r} }$
Onde -
${x}$ = Número total de tentativas.
${r}$ = Número de ocorrências de sucesso.
${P}$ = Probabilidade de sucesso em cada ocorrência.
${1-P}$ = Probabilidade de falha em cada ocorrência.
${f(x; r, P)}$ = Probabilidade binomial negativa, a probabilidade de que um experimento binomial negativo x-tentativa resulte no r-ésimo sucesso na xª tentativa, quando a probabilidade de sucesso em cada tentativa é P.
${^{n}C_{r}}$ = Combinação de n itens tomados r de cada vez.
Exemplo
Robert é um jogador de futebol. Sua taxa de sucesso de acerto de metas é de 70%. Qual é a probabilidade de Robert atingir seu terceiro gol na quinta tentativa?
Solution:
Aqui, probabilidade de sucesso, P é 0,70. Número de tentativas, x é 5 e número de sucessos, r é 3. Usando a fórmula de distribuição binomial negativa, vamos calcular a probabilidade de acertar o terceiro gol na quinta tentativa.
${ f(x; r, P) = ^{x-1}C_{r-1} \times P^r \times (1-P)^{x-r} \\[7pt] \implies f(5; 3, 0.7) = ^4C_2 \times 0.7^3 \times 0.3^2 \\[7pt] \, = 6 \times 0.343 \times 0.09 \\[7pt] \, = 0.18522 }$
Assim, a probabilidade de acertar o terceiro gol na quinta tentativa é $ { 0.18522 }$.