Estatísticas - Teorema de Probabilidade Bayes

Um dos desenvolvimentos mais significativos no campo da probabilidade foi o desenvolvimento da teoria da decisão bayesiana, que provou ser de imensa ajuda na tomada de decisões sob condições incertas. O Teorema de Bayes foi desenvolvido pelo matemático britânico Rev. Thomas Bayes. A probabilidade dada pelo teorema de Bayes também é conhecida pelo nome de probabilidade inversa, probabilidade posterior ou probabilidade revisada. Este teorema encontra a probabilidade de um evento considerando a informação da amostra dada; daí o nome probabilidade posterior. O teorema de Bayes é baseado na fórmula da probabilidade condicional.

probabilidade condicional do evento $ {A_1} $ dado evento $ {B} $ é

$ {P (A_1 / B) = \ frac {P (A_1 \ e \ B)} {P (B)}} $

Da mesma forma, a probabilidade do evento $ {A_1} $ dado evento $ {B} $ é

$ {P (A_2 / B) = \ frac {P (A_2 \ e \ B)} {P (B)}} $

Onde

$ {P (B) = P (A_1 \ e \ B) + P (A_2 \ e \ B) \\ [7pt] P (B) = P (A_1) \ vezes P (B / A_1) + P (A_2 ) \ vezes P (BA_2)} $
$ {P (A_1 / B)} $ pode ser reescrito como
$ {P (A_1 / B) = \ frac {P (A_1) \ vezes P (B / A_1)} {P (A_1)} \ vezes P (B / A_1) + P (A_2) \ vezes P (BA_2) } $

Portanto, a forma geral do Teorema de Bayes é

$ {P (A_i / B) = \ frac {P (A_i) \ vezes P (B / A_i)} {\ sum_ {i = 1} ^ k P (A_i) \ vezes P (B / A_i)}} $

Onde $ {A_1} $, $ {A_2} $ ... $ {A_i} $ ... $ {A_n} $ são conjuntos de n eventos mutuamente exclusivos e exaustivos.