Estatísticas - Distribuição Qui-quadrado

A distribuição qui-quadrada (qui-quadrado ou distribuição $ {X ^ 2} $ -) com graus de liberdade, k é a distribuição de uma soma dos quadrados de k variáveis ​​aleatórias normais padrão independentes. É uma das distribuições de probabilidade mais amplamente utilizadas em estatísticas. É um caso especial da distribuição gama.

A distribuição de qui-quadrado é amplamente usada por estatísticos para calcular o seguinte:

  • Estimativa do intervalo de confiança para um desvio padrão da população de uma distribuição normal usando um desvio padrão da amostra.

  • Verificar a independência de dois critérios de classificação de múltiplas variáveis ​​qualitativas.

  • Para verificar as relações entre variáveis ​​categóricas.

  • Para estudar a variância da amostra onde a distribuição subjacente é normal.

  • Para testar os desvios das diferenças entre as frequências esperadas e observadas.

  • Para conduzir um teste do qui-quadrado (um teste de adequação).

Função densidade de probabilidade

A função de densidade de probabilidade da distribuição de qui-quadrado é dada como:

Fórmula

$ {f (x; k) =} $ $ \ begin {casos} \ frac {x ^ {\ frac {k} {2} - 1} e ^ {- \ frac {x} {2}}} {2 ^ {\ frac {k} {2}} \ Gamma (\ frac {k} {2})}, & \ text {if $ x \ gt 0 $} \\ [7pt] 0, & \ text {if $ x \ le 0 $} \ end {casos} $

Onde -

  • $ {\ Gamma (\ frac {k} {2})} $ = Função Gamma com valores de forma fechada para o parâmetro inteiro k.

  • $ {x} $ = variável aleatória.

  • $ {k} $ = parâmetro inteiro.

Função de distribuição cumulativa

A função de distribuição cumulativa da distribuição Qui-quadrado é dada como:

Fórmula

$ {F (x; k) = \ frac {\ gamma (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} {\ Gamma (\ frac {k} {2})} \\ [7pt] = P (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} $

Onde -

  • $ {\ gamma (s, t)} $ = função gama incompleta inferior.

  • $ {P (s, t)} $ = função gama regularizada.

  • $ {x} $ = variável aleatória.

  • $ {k} $ = parâmetro inteiro.