Estatísticas - modelo Black-Scholes

O modelo Black Scholes é um modelo matemático para verificar a variação de preços ao longo do tempo de instrumentos financeiros, como ações, que pode ser usado para calcular o preço de uma opção de compra europeia. Este modelo pressupõe que o preço dos ativos fortemente negociados segue um movimento browniano geométrico com uma deriva e volatilidade constantes. No caso de opção de compra de ações, o modelo Black Scholes incorpora a variação constante do preço da ação objeto, o valor do dinheiro no tempo, o preço de exercício da opção e seu prazo de vencimento.

O modelo Black Scholes foi desenvolvido em 1973 por Fisher Black, Robert Merton e Myron Scholes e ainda é amplamente utilizado nos mercados financeiros euporianos. Ele fornece uma das melhores maneiras de determinar preços justos de opções.

Entradas

O modelo Black Scholes requer cinco entradas.

  • Preço de exercício de uma opção

  • Preço de estoque atual

  • Hora de expirar

  • Taxa livre de risco

  • Volatility

Suposições

O modelo de Black Scholes assume os seguintes pontos.

  • Os preços das ações seguem uma distribuição lognormal.

  • Os preços dos ativos não podem ser negativos.

  • Sem custo de transação ou imposto.

  • A taxa de juros livre de risco é constante para todos os vencimentos.

  • A venda a descoberto de títulos com uso de recursos é permitida.

  • Nenhuma oportunidade de arbitragem sem risco presente.

Fórmula

$ {C = SN (d_1) - Ke ^ {- rT} Nd_2 \\ [7pt] \, P = Ke ^ {- rT} N (-d_2) - SN (-d_1) \\ [7pt] \, onde \\ [7pt] \, d_1 = \ frac {1} {{\ sigma \ sqrt T}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r + \ frac {\ sigma ^ 2} {2} T)] \\ [7pt] \, d_2 = d_1 - \ sigma \ sqrt T} $

Onde -

  • $ {C} $ = Valor da opção de compra.

  • $ {P} $ = Valor da Opção de Venda.

  • $ {S} $ = Preço da ação.

  • $ {K} $ = preço de exercício.

  • $ {r} $ = taxa de juros livre de risco.

  • $ {T} $ = Tempo para o vencimento.

  • $ {\ sigma} $ = Volatilidade anualizada.

Limitações

O modelo Black Scholes tem as seguintes limitações.

  • Aplicável apenas às opções europeias, uma vez que as opções americanas podem ser exercidas antes do seu vencimento.

  • Dividendos constantes e taxas livres de risco constantes podem não ser relísticos.

  • A volatilidade pode flutuar com o nível de oferta e demanda de opção, portanto, ser constante pode não ser verdade.