DSP - Propriedades da transformação Z

Neste capítulo, entenderemos as propriedades básicas das transformadas Z.

Linearidade

Ele afirma que, quando dois ou mais sinais discretos individuais são multiplicados por constantes, suas respectivas transformadas Z também serão multiplicadas pelas mesmas constantes.

Matematicamente,

$$ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $$

Proof - Nós sabemos disso,

$$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n)) Z ^ {- n} $

$ = a_1 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} + a_2 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (n) Z ^ {- n} $

$ = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $ (Provado portanto)

Aqui, o ROC é $ ROC_1 \ bigcap ROC_2 $.

Time Shifting

A propriedade de deslocamento de tempo descreve como a mudança no domínio do tempo no sinal discreto afetará o domínio Z, que pode ser escrito como;

$$ x (n-n_0) \ longleftrightarrow X (Z) Z ^ {- n} $$

Ou $ x (n-1) \ longleftrightarrow Z ^ {- 1} X (Z) $

Proof -

Seja $ y (P) = X (PK) $

$ Y (z) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty (x (pk)) Z ^ {- p} $

Seja s = pk

$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- (s + k)} $

$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- s} Z ^ {- k} $

$ = Z ^ {- k} [\ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (m) Z ^ {- s}] $

$ = Z ^ {- k} X (Z) $ (Provado portanto)

Aqui, ROC pode ser escrito como Z = 0 (p> 0) ou Z = ∞ (p <0)

Exemplo

U (n) e U (n-1) podem ser plotados da seguinte forma

A transformação de Z de U (n) pode ser escrita como;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n)] Z ^ {- n} = 1 $

A transformação Z de U (n-1) pode ser escrita como;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n-1)] Z ^ {- n} = Z ^ {- 1} $

Então aqui $ x (n-n_0) = Z ^ {- n_0} X (Z) $ (Provado portanto)

Escala de tempo

A propriedade Time Scaling nos diz qual será o domínio Z do sinal quando o tempo for escalado em sua forma discreta, que pode ser escrita como;

$$ a ^ nx (n) \ longleftrightarrow X (a ^ {- 1} Z) $$

Proof -

Seja $ y (p) = a ^ {p} x (p) $

$ Y (P) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty a ^ px (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty x (p) [a ^ {- 1} Z] ^ {- p} $

$ = X (a ^ {- 1} Z) $ (Provado daí)

ROC: = Mod (ar1) <Mod (Z) <Mod (ar2) onde Mod = Módulo

Exemplo

Vamos determinar a transformação Z de $ x (n) = a ^ n \ cos \ omega n $ usando a propriedade de escala de tempo.

Solution -

Já sabemos que a transformação Z do sinal $ \ cos (\ omega n) $ é dada por -

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (\ cos \ omega n) Z ^ {- n} = (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $$

Agora, aplicando a propriedade de escala de tempo, a transformação Z de $ a ^ n \ cos \ omega n $ pode ser escrita como;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a ^ n \ cos \ omega n) Z ^ {- n} = X (a ^ {- 1} Z) $

$ = [(a ^ {- 1} Z) ^ 2- (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n)] / ((a ^ {- 1} Z) ^ 2-2 (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n) +1) $

$ = Z (Za \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2az \ cos \ omega + a ^ 2) $

Diferenciação Sucessiva

A propriedade de diferenciação sucessiva mostra que a transformada Z ocorrerá quando diferenciarmos o sinal discreto no domínio do tempo, em relação ao tempo. Isso é mostrado abaixo.

$$ \ frac {dx (n)} {dn} = (1-Z ^ {- 1}) X (Z) $$

Proof -

Considere o LHS da equação - $ \ frac {dx (n)} {dn} $

$$ = \ frac {[x (n) -x (n-1)]} {[n- (n-1)]} $$

$ = x (n) -X (n-1) $

$ = x (Z) -Z ^ {- 1} x (Z) $

$ = (1-Z ^ {- 1}) x (Z) $ (Provado portanto)

ROC: R1 <Mod (Z) <R2

Exemplo

Vamos encontrar a transformada Z de um sinal dado por $ x (n) = n ^ 2u (n) $

Por propriedade podemos escrever

$ Zz [nU (n)] = -Z \ frac {dZ [U (n)]} {dz} $

$ = -Z \ frac {d [\ frac {Z} {Z-1}]} {dZ} $

$ = Z / ((Z-1) ^ 2 $

$ = y (deixar) $

Agora, Z [ny] pode ser descoberto aplicando novamente a propriedade,

$ Z (n, y) = -Z \ frac {dy} {dz} $

$ = -Z \ frac {d [Z / (Z-1) ^ 3]} {dz} $

$ = Z (Z + 1) / (Z-1) ^ 2 $

Convolução

Isso representa a mudança no domínio Z do sistema quando uma convolução ocorre na forma de sinal discreto, que pode ser escrito como -

$ x_1 (n) * x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (Z) .X_2 (Z) $

Proof -

$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [\ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) x_2 (nk)] Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_n ^ \ infty x_2 (nk) Z ^ {- n}] $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (nk) Z ^ {- (nk)} Z ^ {- k}] $

Seja nk = l, então a equação acima pode ser escrita como -

$ X (Z) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [Z ^ {- k} \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x_2 (l) Z ^ {- l }] $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) X_2 (Z) Z ^ {- k} $

$ = X_2 (Z) \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (Z) Z ^ {- k} $

$ = X_1 (Z) .X_2 (Z) $ (Provado portanto)

ROC: $ ROC \ bigcap ROC2 $

Exemplo

Vamos encontrar a convolução dada por dois sinais

$ x_1 (n) = \ lbrace 3, -2,2 \ rbrace $ ... (eq. 1)

$ x_2 (n) = \ lbrace 2,0 \ leq 4 \ quad e \ quad 0 \ quad em outro lugar \ rbrace $ ... (eq. 2)

A transformação Z da primeira equação pode ser escrita como;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} $

$ = 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} $

A transformação Z do segundo sinal pode ser escrita como;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (n) Z ^ {- n} $

$ = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4} $

Assim, a convolução dos dois sinais acima é dada por -

$ X (Z) = [x_1 (Z) ^ * x_2 (Z)] $

$ = [3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2}] \ vezes [2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4 }] $

$ = 6 + 2Z ^ {- 1} + 6Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + ... \ quad ... \ quad ... $

Tomando a transformação Z inversa, obtemos,

$ x (n) = \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $

Teorema do valor inicial

Se x (n) é uma sequência causal, que tem sua transformação Z como X (z), então o teorema do valor inicial pode ser escrito como;

$ X (n) (em \ quad n = 0) = \ lim_ {z \ a \ infty} X (z) $

Proof - Nós sabemos disso,

$ X (Z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

Expandindo a série acima, temos;

$ = X (0) Z ^ 0 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

$ = X (0) \ vezes 1 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

No caso acima, se Z → ∞ então $ Z ^ {- n} \ rightarrow 0 $ (Porque n> 0)

Portanto, podemos dizer;

$ \ lim_ {z \ to \ infty} X (z) = X (0) $ (Provado portanto)

Teorema do valor final

O Teorema do Valor Final afirma que se a transformada Z de um sinal é representada como X (Z) e os pólos estão todos dentro do círculo, então seu valor final é denotado como x (n) ou X (∞) e pode ser escrito como -

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ a \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ a 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $

Conditions -

É aplicável apenas para sistemas causais.
$ X (Z) (1-Z ^ {- 1}) $ deve ter pólos dentro do círculo unitário no plano Z.

Proof - Nós sabemos disso

$ Z ^ + [x (n + 1) -x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

$ \ Rightarrow Z ^ + [x (n + 1)] - Z ^ + [x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

$ \ Rightarrow Z [X (Z) ^ + - x (0)] - X (Z) ^ + = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

Aqui, podemos aplicar a propriedade avançada da Transformação Z unilateral. Portanto, a equação acima pode ser reescrita como;

$ Z ^ + [x (n + 1)] = Z [X (2) ^ + - x (0) Z ^ 0] = Z [X (Z) ^ + - x (0)] $

Agora, colocando z = 1 na equação acima, podemos expandir a equação acima -

$ \ lim_ {k \ to \ infty} {[x (1) -x (0) + x (6) -x (1) + x (3) -x (2) + ... \ quad ... \ quad ... + x (x + 1) -x (k)]} $

Isso pode ser formulado como;

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ to \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ to 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $ (Provado portanto)

Exemplo

Vamos encontrar o valor inicial e final de x (n) cujo sinal é dado por

$ X (Z) = 2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2} $

Solution - Vamos primeiro encontrar o valor inicial do sinal aplicando o teorema

$ x (0) = \ lim_ {z \ to \ infty} X (Z) $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2}] $

$ = 2 + (\ frac {3} {\ infty}) + (\ frac {4} {\ infty}) = 2 $

Agora vamos encontrar o valor final do sinal aplicando o teorema

$ x (\ infty) = \ lim_ {z \ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) X (Z)] $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) (2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2})] $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + Z ^ {- 1} + Z ^ {- 2} -4Z ^ {- 3}] $

$ = 2 + 1 + 1-4 = 0 $

Some other properties of Z-transform are listed below -

Diferenciação em frequência

Ele fornece a mudança no domínio Z do sinal, quando seu sinal discreto é diferenciado em relação ao tempo.

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dX (z)} {dz} $

Seu ROC pode ser escrito como;

$ r_2 <Mod (Z) <r_1 $

Exemplo

Vamos encontrar o valor de x (n) por meio da Diferenciação na frequência, cujo sinal discreto no domínio Z é dado por $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) = log (1 + aZ ^ {- 1}) $

Por propriedade, podemos escrever que

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dx (Z)} {dz} $

$ = -Z [\ frac {-aZ ^ {- 2}} {1 + aZ ^ {- 1}}] $

$ = (aZ ^ {- 1}) / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ = 1-1 / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ nx (n) = \ delta (n) - (- a) ^ nu (n) $

$ \ Rightarrow x (n) = 1 / n [\ delta (n) - (- a) ^ nu (n)] $

Multiplicação no tempo

Ele fornece a mudança no domínio Z do sinal quando a multiplicação ocorre no nível de sinal discreto.

$ x_1 (n) .x_2 (n) \ longleftrightarrow (\ frac {1} {2 \ Pi j}) [X1 (Z) * X2 (Z)] $

Conjugação no tempo

Isso representa a representação do sinal discreto conjugado no domínio Z.

$ X ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * (Z ^ *) $

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