DSP - Introdução à Z-Transform
A Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) existe para sinais de energia e potência. A transformada Z também existe para sinais do tipo energia ou potência (NENP), até certo ponto apenas. A substituição $ z = e ^ {jw} $ é usada para a conversão de Z-transform para DTFT apenas para sinais absolutamente somados.
Assim, a transformada Z do sinal de tempo discreto x (n) em uma série de potências pode ser escrita como -
$$ X (z) = \ sum_ {n- \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$A equação acima representa uma equação de transformação Z de dois lados.
Geralmente, quando um sinal é transformado em Z, ele pode ser representado como -
$$ X (Z) = Z [x (n)] $$Ou $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) $
Se for um sinal de tempo contínuo, as transformações Z não são necessárias porque as transformações de Laplace são usadas. No entanto, os sinais de tempo discreto podem ser analisados por meio de transformadas Z apenas.
Região de Convergência
Região de convergência é o intervalo de variável complexa Z no plano Z. A transformação Z do sinal é finita ou convergente. Portanto, ROC representa aquele conjunto de valores de Z, para os quais X (Z) tem um valor finito.
Propriedades de ROC
- ROC não inclui nenhum pólo.
- Para o sinal do lado direito, ROC estará fora do círculo no plano Z.
- Para o sinal do lado esquerdo, ROC estará dentro do círculo no plano Z.
- Para estabilidade, ROC inclui círculo unitário no plano Z.
- Para o sinal de ambos os lados, ROC é um anel no plano Z.
- Para sinais de duração finita, ROC é o plano Z completo.
A transformada Z é caracterizada exclusivamente por -
- Expressão de X (Z)
- ROC de X (Z)
Sinais e seu ROC
| x (n) | X (Z) | ROC |
|---|---|---|
| $ \ delta (n) $ | $ 1 $ | Plano Z inteiro |
| $ U (n) $ | $ 1 / (1-Z ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ a ^ nu (n) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ na ^ nu (n) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ U (n) \ cos \ omega n $ | $ (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ U (n) \ sin \ omega n $ | $ (Z \ sin \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
Exemplo
Vamos encontrar a transformada Z e o ROC de um sinal dado como $ x (n) = \ lbrace 7,3,4,9,5 \ rbrace $, onde a origem da série está em 3.
Solution - Aplicando a fórmula que temos -
$ X (z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $
$ = \ sum_ {n = -1} ^ 3 x (n) Z ^ {- n} $
$ = x (-1) Z + x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + x (3) Z ^ {- 3} $
$ = 7Z + 3 + 4Z ^ {- 1} + 9Z ^ {- 2} + 5Z ^ {- 3} $
ROC é todo o plano Z excluindo Z = 0, ∞, -∞