DSP - DFT Discrete Cosine Transform

DCT (Discrete Cosine Transform) é uma sequência de entrada N x (n), 0≤n≤N-1, como uma transformação linear ou combinação de exponenciais complexas. Como resultado, os coeficientes DFT são em geral complexos, mesmo se x (n) for real.

Suponha que tentamos descobrir uma transformação ortogonal que tem a estrutura N × N que expressa uma sequência real x (n) como uma combinação linear da sequência do cosseno. Já sabemos disso -

$ X (K) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

E $ x (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x (k) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

Isso é possível se a sequência de N pontos x (n) for real e par. Assim, $ x (n) = x (Nn), 0 \ leq n \ leq (N-1) $. O próprio DFT resultante é real e uniforme. Essas coisas deixam claro que possivelmente poderíamos configurar uma transformada discreta de cosseno, para qualquer sequência real de N pontos, tomando o ponto 2N DFT de uma “extensão par” de sequência.

O DCT é, basicamente, usado no processamento de imagem e fala. Também é usado na compressão de imagens e sinais de voz.

$ DFT [s (n)] = S (k) = \ sum_ {n = 0} ^ {2N-1} s (n) W_ {2N} ^ {nk}, \ quad onde \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ S (k) = \ estilo de exibição \ soma \ limites_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} + \ estilo de exibição \ soma \ limites_ {n = N} ^ {2N -1} x (2N-n-1) W_ {2N} ^ {nk}; \ quad onde \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {- k / 2} + \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) [W_ {2N} ^ {nk} W_ {2N} ^ {k / 2} + W_ {2N} ^ {- nk} W_ {2N} ^ {- k / 2}]; \ quad onde \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} { N} (n + \ frac {1} {2}) k]; \ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

DCT é definido por,

$ V (k) = 2 \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} {2} (n + \ frac {1} {2}) k] \ quad where \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} S (k) \ quad ou \ quad S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2 }} V (k), \ quad onde \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = 2R [W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} ], \ quad onde \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $