DSP - Convolução Seccional DFT

Suponha que a sequência de entrada x (n) de longa duração deva ser processada com um sistema tendo resposta ao impulso de duração finita convolvendo as duas sequências. Visto que a filtragem linear realizada via DFT envolve a operação em um bloco de dados de tamanho fixo, a sequência de entrada é dividida em blocos de dados de tamanho fixo diferente antes do processamento.

Os blocos sucessivos são então processados ​​um de cada vez e os resultados são combinados para produzir o resultado líquido.

Como a convolução é realizada pela divisão da longa sequência de entrada em diferentes seções de tamanho fixo, é chamada de convolução seccionada. Uma longa sequência de entrada é segmentada em blocos de tamanho fixo, antes do processamento do filtro FIR.

Dois métodos são usados ​​para avaliar a convolução discreta -

  • Overlap-save method

  • Overlap-add method

Método de salvamento de sobreposição

Sobreposição-salvar é o nome tradicional para uma maneira eficiente de avaliar a convolução discreta entre um filtro de sinal muito longo x (n) e uma resposta de impulso finita (FIR) h (n). A seguir estão as etapas do método de salvamento de sobreposição -

Seja o comprimento do bloco de dados de entrada = N = L + M-1. Portanto, comprimento de DFT e IDFT = N. Cada bloco de dados carrega pontos de dados M-1 do bloco anterior seguidos por L novos pontos de dados para formar uma sequência de dados de comprimento N = L + M-1.

  • Primeiro, a DFT de N pontos é calculada para cada bloco de dados.

  • Anexando (L-1) zeros, a resposta ao impulso do filtro FIR é aumentada em comprimento e N pontos DFT é calculado e armazenado.

  • Multiplicação de dois pontos N-DFTs H (k) e X m (k): Y ′ m (k) = H (k) .X m (k), onde K = 0,1,2,… N-1

  • Então, IDFT [Y ′ m ((k)] = y ′ ((n) = [y ′ m (0), y ′ m (1), y ′ m (2), ....... y ' m (m-1), y' m (m), ....... y ' m (N-1)]

    (aqui, N-1 = L + M-2)

  • Os primeiros M-1 pontos estão corrompidos devido ao aliasing e, portanto, são descartados porque o registro de dados tem comprimento N.

  • Os últimos L pontos são exatamente os mesmos como resultado da convolução, então

    y ′ m (n) = y m (n) onde n = M, M + 1,… .N-1

  • Para aliasing evitar, o último M-1 elementos de cada registro de dados são guardados e estes pontos transferir para o registro posterior e tornar-se 1 st elementos M-1.

  • Resultado de IDFT, onde os primeiros M-1 pontos são evitados, para anular o aliasing e os pontos L restantes constituem o resultado desejado como o de uma convolução linear.

Método de adição de sobreposição

A seguir estão as etapas para descobrir a convolução discreta usando o método de sobreposição -

Deixe o tamanho do bloco de dados de entrada ser L. Portanto, o tamanho de DFT e IDFT: N = L + M-1

  • Cada bloco de dados é anexado com M-1 zeros ao último.

  • Calcule DFT de N pontos.

  • Duas DFTs de N pontos são multiplicadas: Y m (k) = H (k) .X m (k), onde k = 0 ,, 1,2, ..., N-1

  • IDFT [Y m (k)] produz blocos de comprimento N que não são afetados pelo aliasing, já que o tamanho de DFT é N = L + M-1 e aumenta o comprimento das sequências para N-pontos anexando M-1 zeros a cada quadra.

  • Os últimos M-1 pontos de cada bloco devem ser sobrepostos e adicionados aos primeiros M-1 pontos do bloco seguinte.

    (razão: cada bloco de dados termina com M-1 zeros)

    Portanto, este método é conhecido como método Overlap-add. Assim, obtemos -

    y (n) = {y 1 (0), y 1 (1), y 1 (2), ... .., y 1 (L-1), y 1 (L) + y 2 (0), y 1 (L + 1) + y 2 (1), ... ... .., y 1 (N-1) + y 2 (M-1), y 2 (M), ... .. . ... ... ...}