DSP - Transformação de Freqüência de Tempo DFT

Sabemos que quando $ \ omega = 2 \ pi K / N $ e $ N \ rightarrow \ infty, \ omega $ se torna uma variável contínua e a soma dos limites torna-se $ - \ infty $ para $ + \ infty $.

Portanto,

$$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {j \ omega}) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {\ frac {-j2 \ pi nk} {N}} = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $$

Transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT)

Sabemos que, $ X (e ^ {j \ omega}) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $

Onde, $ X (e ^ {j \ omega}) $ é contínuo e periódico em ω e com período 2π. … Eq (1)

Agora,

$ x_p (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $ … Da série de Fourier

$ x_p (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} \ times \ frac {2 \ pi} {N } $

ω torna-se contínuo e $ \ frac {2 \ pi} {N} \ rightarrow d \ omega $, pelos motivos citados acima.

$ x (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {n = 0} ^ {2 \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $ … Eq (2)

Transformada de Fourier de tempo discreto inverso

Simbolicamente,

$ x (n) \ Longleftrightarrow x (e ^ {j \ omega}) $ (O par da Transformada de Fourier)

A condição necessária e suficiente para a existência da Transformada de Fourier de Tempo Discreto para uma sequência não periódica x (n) é somativa absoluta.

ou seja, $ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty | x (n) | <\ infty $

Propriedades de DTFT

  • Linearity: $ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) \ Leftrightarrow a_1X_1 (e ^ {j \ omega}) + a_2X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Time shifting- $ x (nk) \ Leftrightarrow e ^ {- j \ omega k} .X (e ^ {j \ omega}) $

  • Time Reversal- $ x (-n) \ Leftrightarrow X (e ^ {- j \ omega}) $

  • Frequency shifting- $ e ^ {j \ omega _0n} x (n) \ Leftrightarrow X (e ^ {j (\ omega - \ omega _0)}) $

  • Differentiation frequency domain- $ nx (n) = j \ frac {d} {d \ omega} X (e ^ {j \ omega}) $

  • Convolution- $ x_1 (n) * x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ vezes X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Multiplication- $ x_1 (n) \ vezes x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) * X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Co-relation- $ y_ {x_1 \ vezes x_2} (l) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ vezes X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Modulation theorem- $ x (n) \ cos \ omega _0n = \ frac {1} {2} [X_1 (e ^ {j (\ omega + \ omega _0}) * X_2 (e ^ {jw}) $

  • Symmetry- $ x ^ * (n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {- j \ omega}) $;

    $ x ^ * (- n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {j \ omega}) $;

    $ Real [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {even} (e ^ {j \ omega}) $;

    $ Imag [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {ímpar} (e ^ {j \ omega}) $;

    $ x_ {par} (n) \ Leftrightarrow Real [x (e ^ {j \ omega})] $;

    $ x_ {odd} (n) \ Leftrightarrow Imag [x (e ^ {j \ omega})] $;

  • Parseval’s theorem- $ \ sum _ {- \ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_1 (e ^ {j \ omega}) | ^ 2d \ omega $

Anteriormente, estudamos a amostragem no domínio da frequência. Com esse conhecimento básico, amostramos $ X (e ^ {j \ omega}) $ no domínio da frequência, de modo que uma análise digital conveniente possa ser feita a partir dos dados amostrados. Conseqüentemente, a DFT é amostrada tanto no domínio do tempo quanto da frequência. Com a suposição de $ x (n) = x_p (n) $

Portanto, DFT é dado por -

$ X (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) e ^ {- \ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, k = 0,1,…., N − 1 … eq (3)

E o IDFT é dado por -

$ X (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) e ^ {\ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, n = 0,1,…., N − 1 … eq (4)

$ \ portanto x (n) \ Leftrightarrow X (k) $

Twiddle Factor

É denotado como $ W_N $ e definido como $ W_N = e ^ {- j2 \ pi / N} $. Sua magnitude é sempre mantida na unidade. Fase de $ W_N = -2 \ pi / N $. É um vetor em círculo unitário e é usado para conveniência computacional. Matematicamente, pode ser mostrado como -

$ W_N ^ r = W_N ^ {r \ pm N} = W_N ^ {r \ pm 2N} = ... $

  • É função de re período N.

    Considere N = 8, r = 0,1,2,3,… .14,15,16,….

    $ \ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ {16} = ... = ... = W_8 ^ {32} = ... = 1 = 1 \ ângulo 0 $

  • $ W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ {17} = ... = ... = W_8 ^ {33} = ... = \ frac {1} {\ sqrt 2} = j \ frac {1} {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac {\ pi} {4} $

Transformação Linear

Deixe-nos entender a transformação linear -

Nós sabemos isso,

$ DFT (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) .W_n ^ { -nk}; \ quad k = 0,1,…., N − 1 $

$ x (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) .W_N ^ {- nk}; \ quad n = 0,1,…., N − 1 $

Note- O cálculo de DFT pode ser realizado com multiplicação de complexo N 2 e adição de complexo N (N-1).

  • $ x_N = \ begin {bmatrix} x (0) \\ x (1) \\. \\. \\ x (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ sinal quad \ quad x_N $

  • $ X_N = \ begin {bmatrix} X (0) \\ X (1) \\. \\. \\ X (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ sinal quad \ quad X_N $

    • $ \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & ... & 1 \\ 1 & W_N & W_N ^ 2 & ... & ... & W_N ^ {N-1} \\. & W_N ^ 2 & W_N ^ 4 & ... & ... & W_N ^ {2 (N-1)} \\. \\ 1 & W_N ^ {N-1} & W_N ^ {2 (N-1 )} & ... & ... & W_N ^ {(N-1) (N-1)} \ end {bmatrix} $

    N - pontos DFT no termo da matriz é dado por - $ X_N = W_Nx_N $

    $ W_N \ longmapsto $ Matriz de transformação linear

    $ Agora, \ quad x_N = W_N ^ {- 1} X_N $

    IDFT em formato de matriz é fornecido por

    $$ x_N = \ frac {1} {N} W_N ^ * X_N $$

    Comparando ambas as expressões de $ x_N, \ quad W_N ^ {- 1} = \ frac {1} {N} W_N ^ * $ e $ W_N \ times W_N ^ * = N [I] _ {N \ times N} $

    Portanto, $ W_N $ é uma matriz de transformação linear, uma matriz ortogonal (unitária).

    Da propriedade periódica de $ W_N $ e de sua propriedade simétrica, pode-se concluir que, $ W_N ^ {k + N / 2} = -W_N ^ k $

    Simetria Circular

    DFT de N pontos de uma duração finita x (n) de comprimento N≤L, é equivalente ao DFT de N pontos de extensão periódica de x (n), ou seja, $ x_p (n) $ de período N. e $ x_p ( n) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) $. Agora, se mudarmos a seqüência, que é uma seqüência periódica de k unidades para a direita, outra seqüência periódica é obtida. Isso é conhecido como deslocamento circular e é dado por,

    $$ x_p ^ \ prime (n) = x_p (nk) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (nk-Nl) $$

    A nova sequência finita pode ser representada como

    $$ x_p ^ \ prime (n) = \ begin {cases} x_p ^ \ prime (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0 & Caso contrário \ end {cases} $$

    Example - Seja x (n) = {1,2,4,3}, N = 4,

    $ x_p ^ \ prime (n) = x (nk, módulo \ quad N) \ equiv x ((nk)) _ N \ quad; ex-if \ quad k = 2i.e \ quad 2 \ quad unidade \ quad direita \ quad shift \ quad and \ quad N = 4, $

    Sentido horário presumido como direção positiva.

    Temos, $ x \ prime (n) = x ((n-2)) _ 4 $

    $ x \ prime (0) = x ((- 2)) _ 4 = x (2) = 4 $

    $ x \ prime (1) = x ((- 1)) _ 4 = x (3) = 3 $

    $ x \ prime (2) = x ((- 2)) _ 4 = x (0) = 1 $

    $ x \ prime (3) = x ((1)) _ 4 = x (1) = 2 $

    Conclusion - O deslocamento circular da sequência de N pontos é equivalente a um deslocamento linear de sua extensão periódica e vice-versa.

    Sequência circularmente uniforme - $ x (Nn) = x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

    $ iex_p (n) = x_p (-n) = x_p (Nn) $

    Conjugado par - $ x_p (n) = x_p ^ * (Nn) $

    Sequência circularmente ímpar - $ x (Nn) = -x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

    $ iex_p (n) = -x_p (-n) = -x_p (Nn) $

    Conjugado ímpar - $ x_p (n) = -x_p ^ * (Nn) $

    Agora, $ x_p (n) = x_ {pe} + x_ {po} (n) $, onde,

    $ x_ {pe} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) + x_p ^ * (Nn)] $

    $ x_ {po} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) -x_p ^ * (Nn)] $

    Para qualquer sinal real x (n), $ X (k) = X ^ * (Nk) $

    $ X_R (k) = X_R (Nk) $

    $ X_l (k) = -X_l (Nk) $

    $ \ ângulo X (k) = - \ ângulo X (NK) $

    Time reversal- amostra reversa sobre a 0ª amostra. Isso é dado como;

    $ x ((- n)) _ N = x (Nn), \ quad 0 \ leq n \ leq N-1 $

    A inversão de tempo é a plotagem de amostras de sequência, no sentido horário, ou seja, direção negativa assumida.

    Algumas outras propriedades importantes

    Outras propriedades IDFT importantes $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $

    • Time reversal - $ x ((- n)) _ N = x (Nn) \ longleftrightarrow X ((- k)) _ N = X (Nk) $

    • Circular time shift - $ x ((nl)) _ N \ longleftrightarrow X (k) e ^ {j2 \ pi lk / N} $

    • Circular frequency shift - $ x (n) e ^ {j2 \ pi ln / N} \ longleftrightarrow X ((kl)) _ N $

    • Complex conjugate properties -

      $ x ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * ((- k)) _ N = X ^ * (Nk) \ quad e $

      $ x ^ * ((- n)) _ N = x ^ * (Nn) \ longleftrightarrow X ^ * (- k) $

    • Multiplication of two sequence -

      $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quad e \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (k) $

      $ \ portanto x_1 (n) x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quadⓃ X_2 (k) $

    • Circular convolution - e multiplicação de dois DFT

      $ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x_1 (n) .x_2 ((mn)) _ n, \ quad m = 0,1,2 ,. ..., N-1 $

      $ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) \ longleftrightarrow X_1 (k) .X_2 (k) $

    • Circular correlation - Se $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ e $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $, então existe uma sequência de correlação cruzada denotada como $ \ bar Y_ {xy} $ tal que $ \ bar Y_ {xy} (l) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * ((nl)) _ N = X (k) .Y ^ * (k) $

    • Parseval’s Theorem - Se $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ e $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $;

      $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ { N-1} X (k) .Y ^ * (k) $