DSP - Operações na Convolução de Sinais

A convolução de dois sinais no domínio do tempo é equivalente à multiplicação de sua representação no domínio da frequência. Matematicamente, podemos escrever a convolução de dois sinais como

$$ y (t) = x_ {1} (t) * x_ {2} (t) $$ $$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (p) .x_ {2 } (tp) dp $$

Passos para convolução

  • Pegue o sinal x 1 (t) e coloque t = p lá para que seja x 1 (p).
  • Pegue o sinal x 2 (t) e execute o passo 1 e faça-o x 2 (p).
  • Faça o dobramento do sinal, ou seja, x 2 (-p).
  • Faça a mudança de tempo do sinal acima x 2 [- (pt)]
  • Em seguida, faça a multiplicação de ambos os sinais. ou seja, $ x_ {1} (p) .x_ {2} [- (p − t)] $

Exemplo

Vamos fazer a convolução de um sinal degrau u (t) com seu próprio tipo.

$ y (t) = u (t) * u (t) $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [u (p) .u [- (pt)] dp $

Agora, este t pode ser maior ou menor que zero, que são mostrados nas figuras abaixo

Assim, com o caso acima, o resultado surge com as seguintes possibilidades

$ y (t) = \ begin {cases} 0, & if \ quad t <0 \\\ int_ {0} ^ {t} 1dt, & for \ quad t> 0 \ end {cases} $

$ = \ begin {cases} 0, & if \ quad t <0 \\ t, & t> 0 \ end {cases} = r (t) $

Propriedades de convolução

Comutativo

Afirma que a ordem de convolução não importa, o que pode ser mostrado matematicamente como

$$ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = x_ {2} (t) * x_ {1} (t) $$

Associativo

Afirma que a ordem de convolução envolvendo três sinais pode ser qualquer coisa. Matematicamente, pode ser mostrado como;

$$ x_ {1} (t) * [x_ {2} (t) * x_ {3} (t)] = [x_ {1} (t) * x_ {2} (t)] * x_ {3} (t) $$

Distributiva

Dois sinais podem ser adicionados primeiro e, em seguida, sua convolução pode ser feita para o terceiro sinal. Isso é equivalente à convolução de dois sinais individualmente com o terceiro sinal e adicionado finalmente. Matematicamente, isso pode ser escrito como;

$$ x_ {1} (t) * [x_ {2} (t) + x_ {3} (t)] = [x_ {1} (t) * x_ {2} (t) + x_ {1} ( t) * x_ {3} (t)] $$

Área

Se um sinal é o resultado da convolução de dois sinais, a área do sinal é a multiplicação desses sinais individuais. Matematicamente, isso pode ser escrito

Se $ y (t) = x_ {1} * x_ {2} (t) $

Então, Área de y (t) = Área de x 1 (t) X Área de x 2 (t)

Dimensionamento

Se dois sinais forem escalados para alguma constante desconhecida “a” e a convolução for feita, o sinal resultante também será convoluído para a mesma constante “a” e será dividido por essa quantidade conforme mostrado abaixo.

Se, $ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = y (t) $

Então, $ x_ {1} (arroba) * x_ {2} (arroba) = \ frac {y (arroba)} {a}, a \ ne 0 $

Demora

Suponha que um sinal y (t) seja o resultado da convolução de dois sinais x1 (t) e x2 (t). Se os dois sinais são atrasados ​​por tempo t1 e t2 respectivamente, então o sinal resultante y (t) será atrasado por (t1 + t2). Matematicamente, pode ser escrito como -

Se, $ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = y (t) $

Então, $ x_ {1} (t-t_ {1}) * x_ {2} (t-t_ {2}) = y [t- (t_ {1} + t_ {2})] $

Exemplos resolvidos

Example 1 - Encontre a convolução dos sinais u (t-1) e u (t-2).

Solution- Os sinais dados são u (t-1) e u (t-2). Sua convolução pode ser feita conforme mostrado abaixo -

$ y (t) = u (t-1) * u (t-2) $

$ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} [u (t-1) .u (t-2)] dt $

$ = r (t-1) + r (t-2) $

$ = r (t-3) $

Example 2 - Encontre a convolução de dois sinais dados por

$x_{1}(n) = \lbrace 3,-2, 2\rbrace $

$ x_ {2} (n) = \ begin {cases} 2, & 0 \ leq n \ leq 4 \\ 0, & x> em outro lugar \ end {cases} $

Solution -

x 2 (n) pode ser decodificado como $ x_ {2} (n) = \ lbrace 2,2,2,2,2 \ rbrace Originalfirst $

x 1 (n) é fornecido anteriormente $ = \ lbrace 3, -2,3 \ rbrace = 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} $

Da mesma forma, $ x_ {2} (z) = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4} $

Sinal resultante,

$ X (Z) = X_ {1} (Z) X_ {2} (z) $

$ = \ lbrace 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} \ rbrace \ times \ lbrace 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {-4} \ rbrace $

$ = 6 + 2Z ^ {- 1} + 6Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + 6Z ^ {- 4} + 6Z ^ {- 5} $

Tomando a transformação Z inversa do acima, obteremos o sinal resultante como

$ x (n) = \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $ Origem no primeiro

Example 3 - Determine a convolução dos 2 sinais seguintes -

$x(n) = \lbrace 2,1,0,1\rbrace$

$h(n) = \lbrace 1,2,3,1\rbrace$

Solution -

Tomando a transformação Z dos sinais, obtemos,

$ x (z) = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 3} $

E $ h (n) = 1 + 2Z ^ {- 1} + 3Z ^ {- 2} + Z ^ {- 3} $

Agora a convolução de dois sinais significa multiplicação de suas transformações Z

Isso é $ Y (Z) = X (Z) \ vezes h (Z) $

$ = \ lbrace 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 3} \ rbrace \ times \ lbrace 1 + 2Z ^ {- 1} + 3Z ^ {- 2} + Z ^ {- 3} \ rbrace $

$ = \ lbrace 2 + 5Z ^ {- 1} + 8Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + 3Z ^ {- 4} + 3Z ^ {- 5} + Z ^ {- 6} \ rbrace $

Tomando a transformação Z inversa, o sinal resultante pode ser escrito como;

$ y (n) = \ lbrace 2,5,8,6,6,1 \ rbrace Originalfirst $