Especificações de domínio de tempo

Neste capítulo, vamos discutir as especificações do domínio do tempo do sistema de segunda ordem. A resposta ao degrau do sistema de segunda ordem para a caixa subamortecida é mostrada na figura a seguir.

Todas as especificações de domínio de tempo estão representadas nesta figura. A resposta até o tempo de acomodação é conhecida como resposta transitória e a resposta após o tempo de acomodação é conhecida como resposta de estado estacionário.

Tempo de atraso

É o tempo necessário para que a resposta alcance half of its final valuea partir do instante zero. É denotado por $ t_d $.

Considere a resposta ao degrau do sistema de segunda ordem para t ≥ 0, quando 'δ' está entre zero e um.

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

O valor final da resposta ao degrau é um.

Portanto, em $ t = t_d $, o valor da resposta ao degrau será 0,5. Substitua esses valores na equação acima.

$$ c (t_d) = 0,5 = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) = 0,5 $$

Usando a aproximação linear, você obterá o delay time t_d Como

$$ t_d = \ frac {1 + 0,7 \ delta} {\ omega_n} $$

Tempo de subida

É o tempo necessário para a resposta surgir de 0% to 100% of its final value. Isso é aplicável para ounder-damped systems. Para os sistemas superamortecidos, considere a duração de 10% a 90% do valor final. O tempo de subida é denotado port_r.

Em t = t ₁ = 0, c (t) = 0.

Sabemos que o valor final da resposta ao degrau é um.

Portanto, em $ t = t_2 $, o valor da resposta ao degrau é um. Substitua esses valores na seguinte equação.

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

$$ c (t_2) = 1 = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_2 + \ theta = \ pi $$

$$ \ Rightarrow t_2 = \ frac {\ pi \ theta} {\ omega_d} $$

Substitua os valores t ₁ e t ₂ na seguinte equação derise time,

$$ t_r = t_2-t_1 $$

$$ \ portanto \: t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$

Da equação acima, podemos concluir que o tempo de subida $ t_r $ e a frequência amortecida $ \ omega_d $ são inversamente proporcionais entre si.

Horário de pico

É o tempo necessário para que a resposta alcance o peak valuepela primeira vez. É denotado por $ t_p $. Em $ t = t_p $, a primeira derivada da resposta é zero.

Sabemos que a resposta ao degrau do sistema de segunda ordem para casos subamortecidos

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Diferencie $ c (t) $ em relação a 't'.

$$ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = - \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ omega_d \ cos (\ omega_dt + \ theta) - \ left (\ frac {- \ delta \ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ direita) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Substitua, $ t = t_p $ e $ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = 0 $ na equação acima.

$$ 0 = - \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ left [\ omega_d \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) \ right] $$

$$ \ Rightarrow \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ sin (\ theta- \ omega_dt_p- \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow sin (- \ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow - \ sin (\ omega_dt_p) = 0 \ Rightarrow sin (\ omega_dt_p) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_p = \ pi $$

$$ \ Rightarrow t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $$

A partir da equação acima, podemos concluir que o horário de pico $ t_p $ e a frequência amortecida $ \ omega_d $ são inversamente proporcionais entre si.

Peak Overshoot

Ultrapassagem de pico M_pé definido como o desvio da resposta no horário de pico em relação ao valor final da resposta. Também é chamado demaximum overshoot.

Matematicamente, podemos escrever como

$$ M_p = c (t_p) -c (\ infty) $$

Onde,

c (t _p ) é o valor de pico da resposta.

c (∞) é o valor final (estado estacionário) da resposta.

Em $ t = t_p $, a resposta c (t) é -

$$ c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) $$

Substitua, $ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $ no lado direito da equação acima.

$$ c (t_P) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_n \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right)}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin \ left (\ omega_d \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right) + \ theta \ right) $$

$$ \ Rightarrow c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)}} { \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) (- \ sin (\ theta)) $$

Nós sabemos isso

$$ \ sin (\ theta) = \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

Então, teremos $ c (t_p) $ como

$$ c (t_p) = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

Substitua os valores de $ c (t_p) $ e $ c (\ infty) $ na equação de ultrapassagem de pico.

$$ M_p = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} - ​​1 $$

$$ \ Rightarrow M_p = e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

Percentage of peak overshoot % $ M_p $ pode ser calculado usando esta fórmula.

$$ \% M_p = \ frac {M_p} {c (\ infty)} \ vezes 100 \% $$

Substituindo os valores de $ M_p $ e $ c (\ infty) $ na fórmula acima, obteremos a porcentagem de ultrapassagem de pico $ \% M_p $ como

$$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $$

A partir da equação acima, podemos concluir que a porcentagem de ultrapassagem de pico $ \% M_p $ diminuirá se a taxa de amortecimento $ \ delta $ aumentar.

Tempo de acomodação

É o tempo necessário para que a resposta alcance o estado estacionário e permaneça dentro das faixas de tolerância especificadas em torno do valor final. Em geral, as faixas de tolerância são de 2% e 5%. O tempo de acomodação é denotado por $ t_s $.

O tempo de acomodação para a faixa de tolerância de 5% é -

$$ t_s = \ frac {3} {\ delta \ omega_n} = 3 \ tau $$

O tempo de acomodação para a faixa de tolerância de 2% é -

$$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} = 4 \ tau $$

Onde, $ \ tau $ é a constante de tempo e é igual a $ \ frac {1} {\ delta \ omega_n} $.

• Tanto o tempo de acomodação $ t_s $ quanto a constante de tempo $ \ tau $ são inversamente proporcionais à razão de amortecimento $ \ delta $.

• Tanto o tempo de acomodação $ t_s $ quanto a constante de tempo $ \ tau $ são independentes do ganho do sistema. Isso significa que até mesmo o ganho do sistema muda, o tempo de acomodação $ t_s $ e a constante de tempo $ \ tau $ nunca mudarão.

Exemplo

Vamos agora encontrar as especificações no domínio do tempo de um sistema de controle tendo a função de transferência em malha fechada $ \ frac {4} {s ^ 2 + 2s + 4} $ quando o sinal de passo unitário é aplicado como uma entrada para este sistema de controle.

Sabemos que a forma padrão da função de transferência do sistema de controle de malha fechada de segunda ordem como

$$ \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Equacionando essas duas funções de transferência, obteremos a frequência natural não amortecida $ \ omega_n $ como 2 rad / seg e a razão de amortecimento $ \ delta $ como 0,5.

Conhecemos a fórmula para frequência amortecida $ \ omega_d $ como

$$ \ omega_d = \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

Substitua os valores $ \ omega_n $ e $ \ delta $ na fórmula acima.

$$ \ Rightarrow \ omega_d = 2 \ sqrt {1- (0,5) ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_d = 1.732 \: rad / s $$

Substituir, $ \ delta $ valor na seguinte relação

$$ \ theta = \ cos ^ {- 1} \ delta $$

$$ \ Rightarrow \ theta = \ cos ^ {- 1} (0,5) = \ frac {\ pi} {3} \: rad $$

Substitua os valores necessários acima na fórmula de cada especificação no domínio do tempo e simplifique para obter os valores das especificações no domínio do tempo para determinada função de transferência.

A tabela a seguir mostra as fórmulas de especificações no domínio do tempo, substituição dos valores necessários e os valores finais.

Especificação de domínio de tempo	Fórmula	Substituição de valores na Fórmula	Valor final
Tempo de atraso	$ t_d = \ frac {1 + 0,7 \ delta} {\ omega_n} $	$ t_d = \ frac {1 + 0,7 (0,5)} {2} $	$ t_d $ = 0,675 s
Tempo de subida	$ t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $	$ t_r = \ frac {\ pi - (\ frac {\ pi} {3})} {1,732} $	$ t_r $ = 1,207 s
Horário de pico	$ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $	$ t_p = \ frac {\ pi} {1,732} $	$ t_p $ = 1.813 seg
% Peak overshoot	$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $	$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {0.5 \ pi} {\ sqrt {1- (0.5) ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $	$ \% \: M_p $ = 16,32%
Tempo de acomodação para banda de tolerância de 2%	$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} $	$ t_S = \ frac {4} {(0,5) (2)} $	$ t_s $ = 4 s