Sistemas de controle - gráficos polares
Nos capítulos anteriores, discutimos os gráficos de Bode. Lá, temos dois gráficos separados para magnitude e fase em função da frequência. Vamos agora discutir sobre gráficos polares. O gráfico polar é um gráfico que pode ser traçado entre a magnitude e a fase. Aqui, as magnitudes são representadas apenas por valores normais.
A forma polar de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ é
$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = | G (j \ omega) H (j \ omega) | \ angle G (j \ omega) H (j \ omega) $$
o Polar ploté um gráfico, que pode ser traçado entre a magnitude e o ângulo de fase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ variando $ \ omega $ de zero a ∞. A folha do gráfico polar é mostrada na figura a seguir.
Esta folha de gráfico consiste em círculos concêntricos e linhas radiais. oconcentric circles e a radial linesrepresentam as magnitudes e os ângulos de fase, respectivamente. Esses ângulos são representados por valores positivos no sentido anti-horário. Da mesma forma, podemos representar ângulos com valores negativos no sentido horário. Por exemplo, o ângulo 270 0 no sentido anti-horário é igual ao ângulo −90 0 no sentido horário.
Regras para desenhar gráficos polares
Siga estas regras para traçar os gráficos polares.
Substitua $ s = j \ omega $ na função de transferência em malha aberta.
Escreva as expressões para magnitude e fase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $.
Encontre a magnitude inicial e a fase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ substituindo $ \ omega = 0 $. Portanto, o gráfico polar começa com esta magnitude e o ângulo de fase.
Encontre a magnitude final e a fase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ substituindo $ \ omega = \ infty $. Assim, o gráfico polar termina com esta magnitude e o ângulo de fase.
Verifique se o gráfico polar cruza o eixo real, tornando o termo imaginário de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ igual a zero e encontre o (s) valor (es) de $ \ omega $.
Verifique se o gráfico polar cruza o eixo imaginário, tornando o termo real de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ igual a zero e encontre o (s) valor (es) de $ \ omega $.
Para desenhar o gráfico polar mais claramente, encontre a magnitude e a fase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ considerando o (s) outro (s) valor (es) de $ \ omega $.
Exemplo
Considere a função de transferência de malha aberta de um sistema de controle de malha fechada.
$$ G (s) H (s) = \ frac {5} {s (s + 1) (s + 2)} $$
Vamos desenhar o gráfico polar para este sistema de controle usando as regras acima.
Step 1 - Substitua $ s = j \ omega $ na função de transferência em malha aberta.
$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = \ frac {5} {j \ omega (j \ omega + 1) (j \ omega + 2)} $$
A magnitude da função de transferência de malha aberta é
$$ M = \ frac {5} {\ omega (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 1}) (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 4})} $$
O ângulo de fase da função de transferência de malha aberta é
$$ \ phi = -90 ^ 0- \ tan ^ {- 1} \ omega- \ tan ^ {- 1} \ frac {\ omega} {2} $$
Step 2 - A tabela a seguir mostra a magnitude e o ângulo de fase da função de transferência em malha aberta em $ \ omega = 0 $ rad / sec e $ \ omega = \ infty $ rad / sec.
| Frequência (rad / s) | Magnitude | Ângulo de fase (graus) |
|---|---|---|
| 0 | ∞ | -90 ou 270 |
| ∞ | 0 | -270 ou 90 |
Portanto, o gráfico polar começa em (∞, −90 0 ) e termina em (0, −270 0 ). O primeiro e o segundo termos entre colchetes indicam a magnitude e o ângulo de fase, respectivamente.
Step 3- Com base nas coordenadas polares inicial e final, este gráfico polar cruzará o eixo real negativo. O ângulo de fase correspondente ao eixo real negativo é -180 0 ou 180 0 . Portanto, ao igualar o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta a -180 0 ou 180 0 , obteremos o valor $ \ omega $ como $ \ sqrt {2} $.
Substituindo $ \ omega = \ sqrt {2} $ na magnitude da função de transferência em malha aberta, teremos $ M = 0,83 $. Portanto, o gráfico polar cruza o eixo real negativo quando $ \ omega = \ sqrt {2} $ e a coordenada polar é (0,83, -180 0 ).
Portanto, podemos desenhar o gráfico polar com as informações acima na folha do gráfico polar.