Sistemas de controle - Parcelas de Nyquist

Os gráficos de Nyquist são a continuação dos gráficos polares para encontrar a estabilidade dos sistemas de controle de malha fechada variando ω de −∞ a ∞. Isso significa que os gráficos de Nyquist são usados ​​para desenhar a resposta de frequência completa da função de transferência de malha aberta.

Critério de estabilidade de Nyquist

O critério de estabilidade de Nyquist funciona no principle of argument. Afirma que, se houver pólos P e Z zeros estiverem contidos na trajetória fechada do plano 's', então o plano $ G (s) H (s) $ correspondente deve circundar a origem $ P - Z $ vezes. Então, podemos escrever o número de círculos N como,

$$ N = PZ $$

  • Se a trajetória fechada do plano de 's' contiver apenas pólos, então a direção do cerco no plano $ G (s) H (s) $ será oposta à direção da trajetória fechada no plano 's'.

  • Se o caminho fechado do plano de 's' contiver apenas zeros, então a direção do cerco no plano $ G (s) H (s) $ será na mesma direção que a do caminho fechado no 's' avião.

Vamos agora aplicar o princípio do argumento a toda a metade direita do plano 's', selecionando-o como um caminho fechado. Este caminho selecionado é chamado deNyquist contorno.

Sabemos que o sistema de controle em malha fechada é estável se todos os pólos da função de transferência em malha fechada estiverem na metade esquerda do plano 's'. Portanto, os pólos da função de transferência em malha fechada nada mais são do que as raízes da equação característica. À medida que a ordem da equação característica aumenta, é difícil encontrar as raízes. Portanto, vamos correlacionar essas raízes da equação característica da seguinte maneira.

  • Os pólos da equação característica são iguais aos pólos da função de transferência em malha aberta.

  • Os zeros da equação característica são iguais aos dos pólos da função de transferência em malha fechada.

Sabemos que o sistema de controle de malha aberta é estável se não houver pólo de malha aberta na metade direita do plano 's'.

ou seja, $ P = 0 \ Rightarrow N = -Z $

Sabemos que o sistema de controle em malha fechada é estável se não houver pólo em malha fechada na metade direita do plano 's'.

ou seja, $ Z = 0 \ Rightarrow N = P $

Nyquist stability criterionafirma que o número de círculos sobre o ponto crítico (1 + j0) deve ser igual aos pólos da equação característica, que nada mais é do que os pólos da função de transferência de malha aberta na metade direita do plano 's'. O deslocamento na origem para (1 + j0) fornece o plano de equação característico.

Regras para desenhar gráficos de Nyquist

Siga estas regras para traçar os gráficos de Nyquist.

  • Localize os pólos e zeros da função de transferência de malha aberta $ G (s) H (s) $ no plano 's'.

  • Desenhe o gráfico polar variando $ \ omega $ de zero ao infinito. Se pólo ou zero estiver presente em s = 0, então variando $ \ omega $ de 0+ ao infinito para desenhar o gráfico polar.

  • Desenhe a imagem espelhada do gráfico polar acima para valores de $ \ omega $ variando de −∞ a zero (0 - se houver algum pólo ou zero presente em s = 0).

  • O número de semicírculos de raio infinito será igual ao número de pólos ou zeros na origem. O semicírculo de raio infinito começará no ponto onde a imagem espelhada do gráfico polar termina. E este semicírculo de raio infinito terminará no ponto onde o gráfico polar começa.

Depois de desenhar o gráfico de Nyquist, podemos encontrar a estabilidade do sistema de controle de malha fechada usando o critério de estabilidade de Nyquist. Se o ponto crítico (-1 + j0) estiver fora do cerco, então o sistema de controle de malha fechada é absolutamente estável.

Análise de estabilidade usando gráficos de Nyquist

A partir dos gráficos de Nyquist, podemos identificar se o sistema de controle é estável, marginalmente estável ou instável com base nos valores desses parâmetros.

  • Ganho de frequência de cruzamento e frequência de cruzamento de fase
  • Margem de ganho e margem de fase

Frequência de passagem de fase

A frequência na qual o gráfico de Nyquist intercepta o eixo real negativo (o ângulo de fase é 180 0 ) é conhecida comophase cross over frequency. É denotado por $ \ omega_ {pc} $.

Ganho de frequência cruzada

A frequência na qual o gráfico de Nyquist está tendo a magnitude de um é conhecida como o gain cross over frequency. É denotado por $ \ omega_ {gc} $.

A estabilidade do sistema de controle com base na relação entre a frequência de cruzamento de fase e a frequência de cruzamento de ganho está listada abaixo.

  • Se a frequência de cruzamento de fase $ \ omega_ {pc} $ for maior do que a frequência de cruzamento de ganho $ \ omega_ {gc} $, então o sistema de controle é stable.

  • Se a frequência de cruzamento de fase $ \ omega_ {pc} $ for igual à frequência de cruzamento de ganho $ \ omega_ {gc} $, então o sistema de controle é marginally stable.

  • Se a frequência de cruzamento de fase $ \ omega_ {pc} $ for menor do que a frequência de cruzamento de ganho $ \ omega_ {gc} $, então o sistema de controle é unstable.

Ganho de margem

A margem de ganho $ GM $ é igual ao recíproco da magnitude do gráfico de Nyquist na frequência de cruzamento de fase.

$$ GM = \ frac {1} {M_ {pc}} $$

Onde, $ M_ {pc} $ é a magnitude na escala normal na frequência de cruzamento de fase.

Margem de Fase

A margem de fase $ PM $ é igual à soma de 180 0 e o ângulo de fase na frequência de cruzamento de ganho.

$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$

Onde, $ \ phi_ {gc} $ é o ângulo de fase na frequência de cruzamento de ganho.

A estabilidade do sistema de controle com base na relação entre a margem de ganho e a margem de fase está listada abaixo.

  • Se a margem de ganho $ GM $ for maior que um e a margem de fase $ PM $ for positiva, então o sistema de controle é stable.

  • Se a margem de ganho $ GM $ for igual a um e a margem de fase $ PM $ for zero grau, então o sistema de controle é marginally stable.

  • Se a margem de ganho $ GM $ for menor que um e / ou a margem de fase $ PM $ for negativa, então o sistema de controle é unstable.