Sistemas de Controle - Compensadores

Existem três tipos de compensadores - compensadores de atraso, avanço e atraso de avanço. Estes são os mais comumente usados.

Compensador de Lag

O Compensador de Lag é uma rede elétrica que produz uma saída senoidal com atraso de fase quando uma entrada senoidal é aplicada. O circuito compensador de lag no domínio 's' é mostrado na figura a seguir.

Aqui, o capacitor está em série com o resistor $ R_2 $ e a saída é medida nesta combinação.

A função de transferência deste compensador de atraso é -

$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ right) $$

Onde,

$$ \ tau = R_2C $$

$$ \ alpha = \ frac {R_1 + R_2} {R_2} $$

Pela equação acima, $ \ alpha $ é sempre maior que um.

A partir da função de transferência, podemos concluir que o compensador de lag tem um pólo em $ s = - \ frac {1} {\ alpha \ tau} $ e um zero em $ s = - \ frac {1} {\ tau} $ . Isso significa que o pólo estará mais próximo da origem na configuração pólo zero do compensador de atraso.

Substitua $ s = j \ omega $ na função de transferência.

$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {j \ omega + \ frac {1} {\ tau}} { j \ omega + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ right) $$

Ângulo de fase $ \ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ alpha \ omega \ tau $

Sabemos que, a fase do sinal sinusoidal de saída é igual à soma dos ângulos de fase do sinal sinusoidal de entrada e a função de transferência.

Portanto, para produzir o atraso de fase na saída deste compensador, o ângulo de fase da função de transferência deve ser negativo. Isso acontecerá quando $ \ alpha> 1 $.

Compensador de chumbo

O compensador de fio é uma rede elétrica que produz uma saída senoidal com fio de fase quando uma entrada senoidal é aplicada. O circuito compensador de chumbo no domínio 's' é mostrado na figura a seguir.

Aqui, o capacitor é paralelo ao resistor $ R_1 $ e a saída é medida através do resistor $ R_2.

A função de transferência deste compensador de chumbo é -

$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau + 1} {\ beta s \ tau + 1} \ right) $$

Onde,

$$ \ tau = R_1C $$

$$ \ beta = \ frac {R_2} {R_1 + R_2} $$

A partir da função de transferência, podemos concluir que o compensador de chumbo tem pólo em $ s = - \ frac {1} {\ beta} $ e zero em $ s = - \ frac {1} {\ beta \ tau} $.

Substitua $ s = j \ omega $ na função de transferência.

$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ beta \ left (\ frac {j \ omega \ tau + 1} {\ beta j \ omega \ tau + 1} \ right ) $$

Ângulo de fase $ \ phi = tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ beta \ omega \ tau $

Sabemos que, a fase do sinal sinusoidal de saída é igual à soma dos ângulos de fase do sinal sinusoidal de entrada e a função de transferência.

Portanto, para produzir o condutor de fase na saída deste compensador, o ângulo de fase da função de transferência deve ser positivo. Isso acontecerá quando $ 0 <\ beta <1 $. Portanto, o zero estará mais próximo da origem na configuração do pólo zero do compensador do condutor.

Compensador Lag-Lead

O compensador de atraso de avanço é uma rede elétrica que produz atraso de fase em uma região de frequência e avanço de fase em outra região de frequência. É uma combinação dos compensadores de atraso e de avanço. O circuito compensador de atraso no domínio 's' é mostrado na figura a seguir.

Este circuito parece que ambos os compensadores estão em cascata. Portanto, a função de transferência deste circuito será o produto das funções de transferência dos compensadores de avanço e atraso.

$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau_1 + 1} {\ beta s \ tau_1 + 1} \ right) \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$

Sabemos $ \ alpha \ beta = 1 $.

$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_1}} {s + \ frac {1} {\ beta \ tau_1}} \ right) \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$

Onde,

$$ \ tau_1 = R_1C_1 $$

$$ \ tau_2 = R_2C_2 $$