Sistemas de controle - construção de gráficos de Bode

Neste capítulo, vamos entender em detalhes como construir (desenhar) gráficos de Bode.

Regras para construção de gráficos de Bode

Siga essas regras ao construir um gráfico de Bode.

• Representa a função de transferência de malha aberta na forma de constante de tempo padrão.

• Substitua $ s = j \ omega $ na equação acima.

• Encontre as frequências de canto e organize-as em ordem crescente.

• Considere a frequência a partir do diagrama de Bode como 1/10 ^th da frequência de canto mínimo ou 0,1 rad / seg a que for menor valor e desenhar o diagrama de Bode até 10 vezes a frequência máxima de canto.

• Desenhe os gráficos de magnitude para cada termo e combine esses gráficos corretamente.

• Desenhe os gráficos de fase para cada termo e combine esses gráficos corretamente.

Note - A frequência do canto é a frequência na qual há uma mudança na inclinação do gráfico de magnitude.

Exemplo

Considere a função de transferência de malha aberta de um sistema de controle de malha fechada

$$ G (s) H (s) = \ frac {10s} {(s + 2) (s + 5)} $$

Vamos converter esta função de transferência de malha aberta na forma de constante de tempo padrão.

$$ G (s) H (s) = \ frac {10s} {2 \ left (\ frac {s} {2} +1 \ right) 5 \ left (\ frac {s} {5} +1 \ right )} $$

$$ \ Rightarrow G (s) H (s) = \ frac {s} {\ left (1+ \ frac {s} {2} \ right) \ left (1+ \ frac {s} {5} \ right )} $$

Portanto, podemos desenhar o gráfico de Bode em uma folha de semi log usando as regras mencionadas anteriormente.

Análise de estabilidade usando gráficos de Bode

A partir dos gráficos de Bode, podemos dizer se o sistema de controle é estável, marginalmente estável ou instável com base nos valores desses parâmetros.

• Ganho de frequência de cruzamento e frequência de cruzamento de fase
• Margem de ganho e margem de fase

Frequência de passagem de fase

A frequência na qual o gráfico de fase está tendo a fase de -180 ⁰ é conhecida comophase cross over frequency. É denotado por $ \ omega_ {pc} $. A unidade de frequência de cruzamento de fase érad/sec.

Ganho de frequência cruzada

A frequência na qual o gráfico de magnitude está tendo a magnitude de zero dB é conhecida como gain cross over frequency. É denotado por $ \ omega_ {gc} $. A unidade de frequência de cruzamento de ganho érad/sec.

A estabilidade do sistema de controle com base na relação entre a frequência de cruzamento de fase e a frequência de cruzamento de ganho está listada abaixo.

• Se a frequência de cruzamento de fase $ \ omega_ {pc} $ for maior do que a frequência de cruzamento de ganho $ \ omega_ {gc} $, então o sistema de controle é stable.

• Se a frequência de cruzamento de fase $ \ omega_ {pc} $ for igual à frequência de cruzamento de ganho $ \ omega_ {gc} $, então o sistema de controle é marginally stable.

• Se a frequência de cruzamento de fase $ \ omega_ {pc} $ for menor do que a frequência de cruzamento de ganho $ \ omega_ {gc} $, então o sistema de controle é unstable.

Ganho de margem

A margem de ganho $ GM $ é igual ao negativo da magnitude em dB na frequência de cruzamento de fase.

$$ GM = 20 \ log \ left (\ frac {1} {M_ {pc}} \ right) = 20logM_ {pc} $$

Onde, $ M_ {pc} $ é a magnitude na frequência de cruzamento de fase. A unidade de margem de ganho (GM) édB.

Margem de Fase

A fórmula para a margem de fase $ PM $ é

$$ PM = 180 ^ 0 + \ phi_ {gc} $$

Onde, $ \ phi_ {gc} $ é o ângulo de fase na frequência de cruzamento de ganho. A unidade de margem de fase édegrees.

A estabilidade do sistema de controle com base na relação entre a margem de ganho e a margem de fase está listada abaixo.

• Se a margem de ganho $ GM $ e a margem de fase $ PM $ forem positivas, então o sistema de controle é stable.

• Se a margem de ganho $ GM $ e a margem de fase $ PM $ forem iguais a zero, então o sistema de controle é marginally stable.

• Se a margem de ganho $ GM $ e / ou a margem de fase $ PM $ são / são negativos, então o sistema de controle é unstable.