Sistemas de Controle - Modelo de Espaço de Estado

o state space model do sistema linear invariante no tempo (LTI) pode ser representado como,

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

A primeira e a segunda equações são conhecidas como equação de estado e equação de saída, respectivamente.

Onde,

X e $ \ dot {X} $ são o vetor de estado e o vetor de estado diferencial, respectivamente.
U e Y são vetores de entrada e de saída, respectivamente.
A é a matriz do sistema.
B e C são as matrizes de entrada e saída.
D é a matriz feed-forward.

Conceitos básicos de modelo de espaço de estado

A seguinte terminologia básica envolvida neste capítulo.

Estado

É um grupo de variáveis, que resume a história do sistema para prever os valores (outputs) futuros.

Estado variável

O número de variáveis de estado necessárias é igual ao número de elementos de armazenamento presentes no sistema.

Examples - corrente fluindo através do indutor, tensão através do capacitor

Vetor de estado

É um vetor que contém as variáveis de estado como elementos.

Nos capítulos anteriores, discutimos dois modelos matemáticos dos sistemas de controle. Esses são o modelo de equação diferencial e o modelo de função de transferência. O modelo de espaço de estados pode ser obtido a partir de qualquer um desses dois modelos matemáticos. Vamos agora discutir esses dois métodos um por um.

Modelo de espaço de estado da equação diferencial

Considere a seguinte série do circuito RLC. Ele tem uma tensão de entrada, $ v_i (t) $ e a corrente fluindo através do circuito é $ i (t) $.

Existem dois elementos de armazenamento (indutor e capacitor) neste circuito. Portanto, o número de variáveis de estado é igual a dois e essas variáveis de estado são a corrente fluindo pelo indutor, $ i (t) $ e a tensão no capacitor, $ v_c (t) $.

Do circuito, a tensão de saída, $ v_0 (t) $ é igual à tensão no capacitor, $ v_c (t) $.

$$ v_0 (t) = v_c (t) $$

Aplique KVL ao redor do loop.

$$ v_i (t) = Ri (t) + L \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} + v_c (t) $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} = - \ frac {Ri (t)} {L} - \ frac {v_c (t)} {L} + \ frac {v_i (t)} {L} $$

A tensão no capacitor é -

$$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt $$

Diferencie a equação acima em relação ao tempo.

$$ \ frac {\ text {d} v_c (t)} {\ text {d} t} = \ frac {i (t)} {C} $$

Vetor de estado, $ X = \ begin {bmatriz} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $

Vetor de estado diferencial, $ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $

Podemos organizar as equações diferenciais e a equação de saída na forma padrão do modelo de espaço de estado como,

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i (t) \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $$

Onde,

$$ A = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix}, \: B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}, \: C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \: e \: D = \ begin {bmatrix} } 0 \ end {bmatrix} $$

Modelo de espaço de estado da função de transferência

Considere os dois tipos de funções de transferência com base no tipo de termos presentes no numerador.

Função de transferência com termo constante no Numerador.
Função de transferência com função polinomial de 's' no Numerador.

Função de transferência com termo constante no Numerador

Considere a seguinte função de transferência de um sistema

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ $

Reorganize, a equação acima como

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) Y (s) = b_0 U (s) $$

Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + a_0y (t) = b_0 u (t) $$

Deixei

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ ponto {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ ponto {x} _2 $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ ponto {x} _n $$

e $ u (t) = u $

Então,

$$ \ ponto {x} _n + a_ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$

A partir da equação acima, podemos escrever a seguinte equação de estado.

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$

A equação de saída é -

$$ y (t) = y = x_1 $$

O modelo de espaço de estado é -

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Aqui, $ D = \ left [0 \ right]. $

Exemplo

Encontre o modelo de espaço de estado para o sistema com função de transferência.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Reorganize a equação acima como,

$$ (s ^ 2 + s + 1) Y (s) = U (s) $$

Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + y (t) = u (t) $$

Deixei

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ ponto {x} _1 $$

e $ u (t) = u $

Então, a equação de estado é

$$ \ ponto {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$

A equação de saída é

$$ y (t) = y = x_1 $$

O modelo de espaço de estado é

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left [u \ right] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 e 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Função de transferência com função polinomial de 's' no Numerador

Considere a seguinte função de transferência de um sistema

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} \ right) (b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) $$

A equação acima está na forma de produto das funções de transferência de dois blocos, que estão em cascata.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {V (s)} {U (s)} \ right) \ left (\ frac {Y (s)} {V (s)} \ right) $$

Aqui,

$$ \ frac {V (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

Reorganize, a equação acima como

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) V (s) = U (s) $$

Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + a_0v (t) = u (t) $$

Deixei

$$ v (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} v ((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ ponto {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ ponto {x} _2 $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ $

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ ponto {x} _n $$

e $ u (t) = u $

Então, a equação de estado é

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u $$

Considerar,

$$ \ frac {Y (s)} {V (s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0 $$

Reorganize, a equação acima como

$$ Y (s) = (b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) V (s) $$

Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.

$$ y (t) = b_n \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n -1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + b_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + b_0v (t) $$

Ao substituir as variáveis de estado e $ y (t) = y $ na equação acima, obteremos a equação de saída como,

$$ y = b_n \ ponto {x} _n + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

Substitua, $ \ dot {x} _n $ valor na equação acima.

$$ y = b_n (-a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u) + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

$$ y = (b_0-b_na_0) x_1 + (b_1-b_na_1) x_2 + ... + (b_ {n-1} -b_na_ {n-1}) x_n + b_n u $$

O modelo de espaço de estado é

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \ começar {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Se $ b_n = 0 $, então,

$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

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