Fórmula de ganho de Mason

Vamos agora discutir a fórmula de ganho de Mason. Suponha que haja 'N' caminhos diretos em um gráfico de fluxo de sinal. O ganho entre os nós de entrada e saída de um gráfico de fluxo de sinal nada mais é do quetransfer functiondo sistema. Ele pode ser calculado usando a fórmula de ganho de Mason.

Mason’s gain formula is

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ N _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

Onde,

  • C(s) é o nó de saída

  • R(s) é o nó de entrada

  • T é a função de transferência ou ganho entre $ R (s) $ e $ C (s) $

  • Pié o ganho do caminho para a frente

$ \ Delta = 1- (soma \: de \: todos \: individual \: loop \: ganhos) $

$ + (soma \: de \: ganho \: produtos \: de \: todos \: possível \: dois \: sem toque \: loops) $

$$ - (soma \: de \: ganho \: produtos \: de \: todos \: possível \: três \: não tocando \: loops) + ... $$

Δ i é obtido de Δ removendo os loops que estão tocando o i ésimo caminho de ida .

Considere o seguinte gráfico de fluxo de sinal para entender a terminologia básica envolvida aqui.

Caminho

É uma travessia de ramos de um nó para qualquer outro nó na direção das setas do ramo. Ele não deve atravessar nenhum nó mais de uma vez.

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $ e $ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $

Caminho para frente

O caminho que existe do nó de entrada para o nó de saída é conhecido como forward path.

Examples - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ e $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

Ganho de caminho para frente

É obtido calculando o produto de todos os ganhos de ramificação do caminho de ida.

Examples - $ abcde $ é o ganho do caminho de avanço de $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ e abge é o ganho do caminho de avanço de $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

Ciclo

O caminho que começa em um nó e termina no mesmo nó é conhecido como loop. Portanto, é um caminho fechado.

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.

Loop Gain

É obtido calculando o produto de todos os ganhos de ramificação de um loop.

Examples - $ b_j $ é o ganho de loop de $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ g_h $ é o ganho de loop de $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.

Loops sem toque

Esses são os loops, que não devem ter nenhum nó comum.

Examples - Os loops, $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ e $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ não se tocam.

Cálculo da função de transferência usando a fórmula de ganho de Mason

Vamos considerar o mesmo gráfico de fluxo de sinal para encontrar a função de transferência.

  • Número de caminhos diretos, N = 2.

  • O primeiro caminho de avanço é - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

  • Primeiro ganho de caminho de ida, $ p_1 = abcde $.

  • O segundo caminho de encaminhamento é - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

  • Ganho do segundo caminho de ida, $ p_2 = abge $.

  • Número de loops individuais, L = 5.

  • Os loops são - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ e $ y_5 \ rightarrow y_4 $ y_5 $.

  • Os ganhos do loop são - $ l_1 = bj $, $ l_2 = gh $, $ l_3 = cdh $, $ l_4 = di $ e $ l_5 = f $.

  • Número de dois loops sem contato = 2.

  • O primeiro par de loops não tocantes é - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $.

  • Produto de ganho do primeiro par de loops não tocantes, $ l_1l_4 = bjdi $

  • O segundo par de loops sem contato é - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_5 \ rightarrow y_5 $.

  • O produto de ganho do segundo par de loops não tocantes é - $ l_1l_5 = bjf $

Um número maior de (mais de dois) loops sem contato não está presente neste gráfico de fluxo de sinal.

Nós sabemos,

$ \ Delta = 1- (soma \: de \: todos \: individual \: loop \: ganhos) $

$ + (soma \: de \: ganho \: produtos \: de \: todos \: possível \: dois \: sem toque \: loops) $

$$ - (soma \: de \: ganho \: produtos \: de \: todos \: possível \: três \: não tocando \: loops) + ... $$

Substitua os valores na equação acima,

$ \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + (bjdi + bjf) - (0) $

$ \ Rightarrow \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf $

Não há nenhum loop que não toque no primeiro caminho de avanço.

Portanto, $ \ Delta_1 = 1 $.

Da mesma forma, $ \ Delta_2 = 1 $. Uma vez que, nenhum loop que não toque o segundo caminho de avanço.

Substitua, N = 2 na fórmula de ganho de Mason

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ 2 _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} {\ Delta} $$

Substitua todos os valores necessários na equação acima.

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) 1+ (abge) 1} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

$$ \ Rightarrow T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

Portanto, a função de transferência é -

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf} $ $