Resposta do Sistema de Primeira Ordem
Neste capítulo, vamos discutir o tempo de resposta do sistema de primeira ordem. Considere o seguinte diagrama de blocos do sistema de controle de malha fechada. Aqui, uma função de transferência de malha aberta, $ \ frac {1} {sT} $ está conectada com um feedback negativo unitário.
Sabemos que a função de transferência do sistema de controle de malha fechada tem feedback negativo unitário como,
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$
Substitua, $ G (s) = \ frac {1} {sT} $ na equação acima.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ frac {1} {sT}} {1+ \ frac {1} {sT}} = \ frac {1} {sT + 1} $$
O poder de s é um no termo do denominador. Portanto, a função de transferência acima é de primeira ordem e o sistema é chamado defirst order system.
Podemos reescrever a equação acima como
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $$
Onde,
C(s) é a transformada de Laplace do sinal de saída c (t),
R(s) é a transformada de Laplace do sinal de entrada r (t), e
T é a constante de tempo.
Siga estas etapas para obter a resposta (saída) do sistema de primeira ordem no domínio do tempo.
Pegue a transformada de Laplace do sinal de entrada $ r (t) $.
Considere a equação, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Substitua o valor $ R (s) $ na equação acima.
Faça frações parciais de $ C (s) $ se necessário.
Aplique a transformação inversa de Laplace a $ C (s) $.
No capítulo anterior, vimos os sinais de teste padrão como impulso, degrau, rampa e parabólico. Vamos agora descobrir as respostas do sistema de primeira ordem para cada entrada, uma por uma. O nome da resposta é dado de acordo com o nome do sinal de entrada. Por exemplo, a resposta do sistema para uma entrada de impulso é chamada de resposta de impulso.
Resposta ao impulso do sistema de primeira ordem
Considere o unit impulse signal como uma entrada para o sistema de primeira ordem.
Então, $ r (t) = \ delta (t) $
Aplique a transformação de Laplace em ambos os lados.
$ R (s) = 1 $
Considere a equação, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Substitua, $ R (s) = 1 $ na equação acima.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) (1) = \ frac {1} {sT + 1} $$
Reorganize a equação acima em uma das formas padrão das transformadas de Laplace.
$$ C (s) = \ frac {1} {T \ left (\ s + \ frac {1} {T} \ right)} \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {T} \ left (\ frac {1} {s + \ frac {1} {T}} \ right) $$
Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.
$$ c (t) = \ frac {1} {T} e ^ \ left ({- \ frac {t} {T}} \ right) u (t) $$
A resposta ao impulso da unidade é mostrada na figura a seguir.
o unit impulse response, c (t) é um sinal de decaimento exponencial para valores positivos de 't' e é zero para valores negativos de 't'.
Resposta ao Passo do Sistema de Primeira Ordem
Considere o unit step signal como uma entrada para o sistema de primeira ordem.
Então, $ r (t) = u (t) $
Aplique a transformação de Laplace em ambos os lados.
$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$
Considere a equação, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Substitua, $ R (s) = \ frac {1} {s} $ na equação acima.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ direita)} $$
Faça frações parciais de C (s).
$$ C (s) = \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {sT + 1} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A \ left (sT + 1 \ right) + Bs} {s \ left (sT + 1 \ right)} $$
Em ambos os lados, o termo denominador é o mesmo. Então, eles serão cancelados um pelo outro. Portanto, iguale os termos do numerador.
$$ 1 = A \ esquerda (sT + 1 \ direita) + Bs $$
Ao igualar os termos constantes em ambos os lados, você obterá A = 1.
Substitua, A = 1 e iguale o coeficiente do s termos em ambos os lados.
$$ 0 = T + B \ Rightarrow B = -T $$
Substitua, A = 1 e B = −T na expansão de fração parcial de $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {sT + 1} = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {T \ left (s + \ frac { 1} {T} \ right)} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ frac {1} {T}} $$
Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.
$$ c (t) = \ left (1-e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right) u (t) $$
o unit step response, c (t) tem os termos transiente e de estado estacionário.
O termo transiente na resposta da etapa da unidade é -
$$ c_ {tr} (t) = - e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
O termo de estado estacionário na resposta ao degrau unitário é -
$$ c_ {ss} (t) = u (t) $$
A figura a seguir mostra a resposta da etapa da unidade.
O valor do unit step response, c(t)é zero em t = 0 e para todos os valores negativos de t. Ele está aumentando gradualmente do valor zero e finalmente atinge um no estado estacionário. Portanto, o valor do estado estacionário depende da magnitude da entrada.
Resposta de rampa do sistema de primeira ordem
Considere o unit ramp signal como uma entrada para o sistema de primeira ordem.
$ Então, r (t) = tu (t) $
Aplique a transformação de Laplace em ambos os lados.
$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $$
Considere a equação, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Substitua, $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $ na equação acima.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 2} \ right) = \ frac {1} {s ^ 2 ( sT + 1)} $$
Faça frações parciais de $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 2} + \ frac {B} {s} + \ frac {C} {sT +1} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2} {s ^ 2 (sT + 1) } $$
Em ambos os lados, o termo denominador é o mesmo. Então, eles serão cancelados um pelo outro. Portanto, iguale os termos do numerador.
$$ 1 = A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2 $$
Ao igualar os termos constantes em ambos os lados, você obterá A = 1.
Substitua, A = 1 e iguale o coeficiente dos termos s em ambos os lados.
$$ 0 = T + B \ Rightarrow B = -T $$
Da mesma forma, substitua B = −T e iguale o coeficiente de $ s ^ 2 $ termos em ambos os lados. Você obterá $ C = T ^ 2 $.
Substitua A = 1, B = −T e $ C = T ^ 2 $ na expansão de fração parcial de $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {sT + 1} = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {T \ esquerda (s + \ frac {1} {T} \ direita)} $$
$$ \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T} {s + \ frac {1} {T}} $$
Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.
$$ c (t) = \ left (t-T + Te ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right) u (t) $$
o unit ramp response, c (t) tem os termos transiente e de estado estacionário.
O termo transitório na resposta da rampa unitária é -
$$ c_ {tr} (t) = Te ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
O termo de estado estacionário na resposta da rampa da unidade é -
$$ c_ {ss} (t) = (tT) u (t) $$
A figura a seguir mostra a resposta da rampa da unidade.
o unit ramp response, c (t) segue o sinal de entrada da rampa unitária para todos os valores positivos de t. Porém, há um desvio de unidades T do sinal de entrada.
Resposta Parabólica do Sistema de Primeira Ordem
Considere o unit parabolic signal como uma entrada para o sistema de primeira ordem.
Portanto, $ r (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $
Aplique a transformação de Laplace em ambos os lados.
$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $$
Considere a equação, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Substitua $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $ na equação acima.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 3} \ right) = \ frac {1} {s ^ 3 ( sT + 1)} $$
Faça frações parciais de $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 3} + \ frac {B} {s ^ 2} + \ frac {C} {s} + \ frac {D} {sT + 1} $$
Depois de simplificar, você obterá os valores de A, B, C e D como 1, $ -T, \: T ^ 2 \: e \: −T ^ 3 $ respectivamente. Substitua esses valores na expansão da fração parcial de C (s) acima.
$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 3} {sT + 1 } \: \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 2} {s + \ frac {1} {T}} $
Aplique a transformada de Laplace inversa em ambos os lados.
$$ c (t) = \ left (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2-T ^ 2e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right ) u (t) $$
o unit parabolic response, c (t) tem os termos transiente e de estado estacionário.
O termo transitório na resposta parabólica da unidade é
$$ C_ {tr} (t) = - T ^ 2e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
O termo de estado estacionário na resposta parabólica da unidade é
$$ C_ {ss} (t) = \ left (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2 \ right) u (t) $$
A partir dessas respostas, podemos concluir que os sistemas de controle de primeira ordem não são estáveis com a rampa e as entradas parabólicas porque essas respostas continuam aumentando mesmo em uma quantidade infinita de tempo. Os sistemas de controle de primeira ordem são estáveis com entradas de impulso e degrau porque essas respostas têm saída limitada. Mas, a resposta ao impulso não tem termo de estado estacionário. Portanto, o sinal de degrau é amplamente utilizado no domínio do tempo para analisar os sistemas de controle a partir de suas respostas.