Análise de resposta de frequência

Já discutimos a análise de resposta no tempo dos sistemas de controle e as especificações no domínio do tempo dos sistemas de controle de segunda ordem. Neste capítulo, vamos discutir a análise da resposta em frequência dos sistemas de controle e as especificações no domínio da frequência dos sistemas de controle de segunda ordem.

O que é resposta de frequência?

A resposta de um sistema pode ser dividida em resposta transiente e resposta de estado estacionário. Podemos encontrar a resposta transitória usando integrais de Fourier. A resposta de estado estacionário de um sistema para um sinal sinusoidal de entrada é conhecida como ofrequency response. Neste capítulo, vamos nos concentrar apenas na resposta de estado estacionário.

Se um sinal senoidal é aplicado como entrada a um sistema Linear Invariante no Tempo (LTI), ele produz a saída de estado estacionário, que também é um sinal senoidal. Os sinais sinusoidais de entrada e saída têm a mesma frequência, mas diferentes amplitudes e ângulos de fase.

Deixe o sinal de entrada ser -

$$ r (t) = A \ sin (\ omega_0t) $$

A função de transferência de malha aberta será -

$$ G (s) = G (j \ omega) $$

Podemos representar $ G (j \ omega) $ em termos de magnitude e fase, conforme mostrado abaixo.

$$ G (j \ omega) = | G (j \ omega) | \ angle G (j \ omega) $$

Substitua, $ \ omega = \ omega_0 $ na equação acima.

$$ G (j \ omega_0) = | G (j \ omega_0) | \ angle G (j \ omega_0) $$

O sinal de saída é

$$ c (t) = A | G (j \ omega_0) | \ sin (\ omega_0t + \ ângulo G (j \ omega_0)) $$

• o amplitude do sinal senoidal de saída é obtido multiplicando a amplitude do sinal senoidal de entrada e a magnitude de $ G (j \ omega) $ em $ \ omega = \ omega_0 $.

• o phase do sinal senoidal de saída é obtido adicionando a fase do sinal senoidal de entrada e a fase de $ G (j \ omega) $ em $ \ omega = \ omega_0 $.

Onde,

• A é a amplitude do sinal sinusoidal de entrada.

• ω₀ é a frequência angular do sinal senoidal de entrada.

Podemos escrever, frequência angular $ \ omega_0 $ como mostrado abaixo.

$$ \ omega_0 = 2 \ pi f_0 $$

Aqui, $ f_0 $ é a frequência do sinal sinusoidal de entrada. Da mesma forma, você pode seguir o mesmo procedimento para o sistema de controle de malha fechada.

Especificações de domínio de frequência

As especificações do domínio da frequência são resonant peak, resonant frequency and bandwidth.

Considere a função de transferência do sistema de controle de malha fechada de segunda ordem como,

$$ T (s) = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Substitua $ s = j \ omega $ na equação acima.

$$ T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(j \ omega) ^ 2 + 2 \ delta \ omega_n (j \ omega) + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {- \ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$

$$ \ Rightarrow T (j \ omega) = \ frac {1} {\ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} \ right) + j \ left (\ frac {2 \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$

Seja, $ \ frac {\ omega} {\ omega_n} = u $ Substitua este valor na equação acima.

$$ T (j \ omega) = \ frac {1} {(1-u ^ 2) + j (2 \ delta u)} $$

Magnitude de $ T (j \ omega) $ é -

$$ M = | T (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2}} $$

A fase de $ T (j \ omega) $ é -

$$ \ angle T (j \ omega) = - tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2 \ delta u} {1-u ^ 2} \ right) $$

Frequência de ressonância

É a frequência na qual a magnitude da resposta de frequência atinge o valor de pico pela primeira vez. É denotado por $ \ omega_r $. Em $ \ omega = \ omega_r $, a primeira derivada da magnitude de $ T (j \ omega) $ é zero.

Diferencie $ M $ em relação a $ u $.

$$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [2 (1-u ^ 2) (- 2u) +2 (2 \ delta u) (2 \ delta) \ right] $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [4u (u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$

Substitua, $ u = u_r $ e $ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} == 0 $ na equação acima.

$$ 0 = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2 \ right] ^ {- \ frac {3} {2}} \ left [4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$

$$ \ Rightarrow 4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) = 0 $$

$$ \ Rightarrow u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0 $$

$$ \ Rightarrow u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2 $$

$$ \ Rightarrow u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

Substitua, $ u_r = \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} $ na equação acima.

$$ \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_r = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

Pico Ressonante

É o valor de pico (máximo) da magnitude de $ T (j \ omega) $. É denotado por $ M_r $.

Em $ u = u_r $, a magnitude de $ T (j \ omega) $ é -

$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2}} $$

Substitua, $ u_r = \ sqrt {1 - 2 \ delta ^ 2} $ e $ 1 - u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $ na equação acima.

$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(2 \ delta ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2}) ^ 2}} $$

$$ \ Rightarrow M_r = \ frac {1} {2 \ delta \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} $$

O pico ressonante na resposta de frequência corresponde ao pico de ultrapassagem na resposta transiente no domínio do tempo para certos valores da razão de amortecimento $ \ delta $. Portanto, o pico ressonante e a ultrapassagem do pico estão correlacionados entre si.

Largura de banda

É a faixa de frequências sobre a qual a magnitude de $ T (j \ omega) $ cai para 70,7% de seu valor de frequência zero.

Em $ \ omega = 0 $, o valor de $ u $ será zero.

Substituto, $ u = 0 $ em M.

$$ M = \ frac {1} {\ sqrt {(1-0 ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta (0)) ^ 2}} = 1 $$

Portanto, a magnitude de $ T (j \ omega) $ é um em $ \ omega = 0 $.

Na frequência de 3 dB, a magnitude de $ T (j \ omega) $ será 70,7% da magnitude de $ T (j \ omega) $ em $ \ omega = 0 $.

ou seja, em $ \ omega = \ omega_B, M = 0,707 (1) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} $

$$ \ Rightarrow M = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_b) ^ 2}} $$

$$ \ Rightarrow 2 = (1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 u_b ^ 2 $$

Vamos, $ u_b ^ 2 = x $

$$ \ Rightarrow 2 = (1-x) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 x $$

$$ \ Rightarrow x ^ 2 + (4 \ delta ^ 2-2) x-1 = 0 $$

$$ \ Rightarrow x = \ frac {- (4 \ delta ^ 2 -2) \ pm \ sqrt {(4 \ delta ^ 2-2) ^ 2 + 4}} {2} $$

Considere apenas o valor positivo de x.

$$ x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2 \ delta ^ 2-1) ^ 2 + 1} $$

$$ \ Rightarrow x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$

Substitua, $ x = u_b ^ 2 = \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} $

$$ \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_b = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)}} $$

A largura de banda $ \ omega_b $ na resposta de frequência é inversamente proporcional ao tempo de subida $ t_r $ na resposta transiente no domínio do tempo.