Sistemas de controle - Locus raiz

No diagrama de localização da raiz, podemos observar a trajetória dos pólos em malha fechada. Portanto, podemos identificar a natureza do sistema de controle. Nesta técnica, usaremos uma função de transferência em malha aberta para saber a estabilidade do sistema de controle em malha fechada.

Noções básicas de locus raiz

O lugar geométrico da raiz é o lugar geométrico das raízes da equação característica, variando o ganho do sistema K de zero ao infinito.

Sabemos que, a equação característica do sistema de controle de malha fechada é

$$ 1 + G (s) H (s) = 0 $$

Podemos representar $ G (s) H (s) $ como

$$ G (s) H (s) = K \ frac {N (s)} {D (s)} $$

Onde,

• K representa o fator de multiplicação

• N (s) representa o termo numerador ter (multiplicada) n ^th polinomial de ordem 's'.

• D (s) representa o termo denominador ter (multiplicada) m ^th polinomial de ordem 's'.

Substitua, $ G (s) H (s) $ valor na equação característica.

$$ 1 + k \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 $$

$$ \ Rightarrow D (s) + KN (s) = 0 $$

Case 1 − K = 0

Se $ K = 0 $, então $ D (s) = 0 $.

Isso significa que os pólos de malha fechada são iguais aos pólos de malha aberta quando K é zero.

Case 2 − K = ∞

Reescreva a equação característica acima como

$$ K \ left (\ frac {1} {K} + \ frac {N (s)} {D (s)} \ right) = 0 \ Rightarrow \ frac {1} {K} + \ frac {N ( s)} {D (s)} = 0 $$

Substitua $ K = \ infty $ na equação acima.

$$ \ frac {1} {\ infty} + \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 \ Rightarrow \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 \ Rightarrow N ( s) = 0 $$

Se $ K = \ infty $, então $ N (s) = 0 $. Isso significa que os pólos da malha fechada são iguais aos zeros da malha aberta quando K é infinito.

Dos dois casos anteriores, podemos concluir que os ramos do lugar da raiz começam nos pólos de malha aberta e terminam em zeros de malha aberta.

Condição de ângulo e condição de magnitude

Os pontos nas ramificações do lugar geométrico da raiz satisfazem a condição do ângulo. Assim, a condição do ângulo é usada para saber se o ponto existe no ramo do local da raiz ou não. Podemos encontrar o valor de K para os pontos nos ramos do lugar geométrico da raiz usando a condição de magnitude. Portanto, podemos usar a condição de magnitude para os pontos, e isso satisfaz a condição de ângulo.

A equação característica do sistema de controle de malha fechada é

$$ 1 + G (s) H (s) = 0 $$

$$ \ Rightarrow G (s) H (s) = - 1 + j0 $$

o phase angle de $ G (s) H (s) $ é

$$ \ angle G (s) H (s) = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {0} {- 1} \ right) = (2n + 1) \ pi $$

o angle conditioné o ponto em que o ângulo da função de transferência de malha aberta é um múltiplo ímpar de 180 ⁰ .

Magnitude de $ G (s) H (s) $ é -

$$ | G (s) H (s) | = \ sqrt {(-1) ^ 2 + 0 ^ 2} = 1 $$

A condição de magnitude é aquele ponto (que satisfaz a condição de ângulo) no qual a magnitude da função de transferência de malha aberta é um.