Sistemas de Controle - Análise de Espaço de Estado
No capítulo anterior, aprendemos como obter o modelo de espaço de estados da equação diferencial e da função de transferência. Neste capítulo, vamos discutir como obter a função de transferência do modelo de espaço de estado.
Função de transferência do modelo de espaço de estado
Sabemos que o modelo de espaço de estado de um sistema Linear Invariante no Tempo (LTI) é -
$$ \ ponto {X} = AX + BU $$
$$ Y = CX + DU $$
Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da equação de estado.
$$ sX (s) = AX (s) + BU (s) $$
$$ \ Rightarrow (sI-A) X (s) = BU (s) $$
$$ \ Rightarrow X (s) = (sI-A) ^ {- 1} BU (s) $$
Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da equação de saída.
$$ Y (s) = CX (s) + DU (s) $$
Substitua o valor de X (s) na equação acima.
$$ \ Rightarrow Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} BU (s) + DU (s) $$
$$ \ Rightarrow Y (s) = [C (sI-A) ^ {- 1} B + D] U (s) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B + D $$
A equação acima representa a função de transferência do sistema. Assim, podemos calcular a função de transferência do sistema usando esta fórmula para o sistema representado no modelo de espaço de estados.
Note - Quando $ D = [0] $, a função de transferência será
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$
Example
Vamos calcular a função de transferência do sistema representado no modelo de espaço de estado como,
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatriz} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
Aqui,
$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ quad e \ quad D = [0] $$
A fórmula para a função de transferência quando $ D = [0] $ é -
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$
Substitua as matrizes A, B e C na equação acima.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1 & 1 \\ - 1 & s \ end {bmatrix } ^ {- 1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s & -1 \\ 1 & s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1) s-1 (-1)} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
Portanto, a função de transferência do sistema para o modelo de espaço de estado dado é
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
Matriz de transição de estado e suas propriedades
Se o sistema apresentar condições iniciais, ele produzirá uma saída. Como essa saída está presente mesmo na ausência de entrada, ela é chamadazero input response$ x_ {ZIR} (t) $. Matematicamente, podemos escrever como,
$$ x_ {ZIR} (t) = e ^ {At} X (0) = L ^ {- 1} \ left \ {\ left [sI-A \ right] ^ {- 1} X (0) \ right \} $$
A partir da relação acima, podemos escrever a matriz de transição de estado $ \ phi (t) $ como
$$ \ phi (t) = e ^ {At} = L ^ {- 1} [sI-A] ^ {- 1} $$
Assim, a resposta de entrada zero pode ser obtida multiplicando a matriz de transição de estado $ \ phi (t) $ com a matriz de condições iniciais.
A seguir estão as propriedades da matriz de transição de estado.
Se $ t = 0 $, então a matriz de transição de estado será igual a uma matriz de identidade.
$$ \ phi (0) = I $$
O inverso da matriz de transição de estado será igual ao da matriz de transição de estado apenas substituindo 't' por '-t'.
$$ \ phi ^ {- 1} (t) = \ phi (−t) $$
Se $ t = t_1 + t_2 $, então a matriz de transição de estado correspondente é igual à multiplicação das duas matrizes de transição de estado em $ t = t_1 $ e $ t = t_2 $.
$$ \ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2) $$
Controlabilidade e observabilidade
Vamos agora discutir a controlabilidade e a observabilidade do sistema de controle, um por um.
Controlabilidade
Diz-se que um sistema de controle é controllable se os estados iniciais do sistema de controle são transferidos (alterados) para alguns outros estados desejados por uma entrada controlada em duração finita de tempo.
Podemos verificar a controlabilidade de um sistema de controle usando Kalman’s test.
Escreva a matriz $ Q_c $ da seguinte forma.
$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ right] $$
Encontre o determinante da matriz $ Q_c $ e se não for igual a zero, então o sistema de controle é controlável.
Observabilidade
Diz-se que um sistema de controle é observable se é capaz de determinar os estados iniciais do sistema de controle observando as saídas em duração finita de tempo.
Podemos verificar a observabilidade de um sistema de controle usando Kalman’s test.
Escreva a matriz $ Q_o $ da seguinte forma.
$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ direita] $$
Encontre o determinante da matriz $ Q_o $ e se não for igual a zero, então o sistema de controle é observável.
Example
Vamos verificar a controlabilidade e observabilidade de um sistema de controle que é representado no modelo de espaço de estado como,
$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatriz} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
Aqui,
$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad \ begin {bmatrix } 0 e 1 \ end {bmatrix}, D = [0] \ quad e \ quad n = 2 $$
Para $ n = 2 $, a matriz $ Q_c $ será
$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ right] $$
Obteremos o produto das matrizes A e B como,
$$ AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1 e -1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$
$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$
Como o determinante da matriz $ Q_c $ não é igual a zero, o sistema de controle fornecido é controlável.
Para $ n = 2 $, a matriz $ Q_o $ será -
$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right] $$
Aqui,
$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad e \ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ $
Obteremos o produto das matrizes $ A ^ T $ e $ C ^ T $ como
$$ A ^ TC ^ T = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow Q_o = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow | Q_o | = -1 \ quad \ neq 0 $$
Visto que o determinante da matriz $ Q_o $ não é igual a zero, o sistema de controle dado é observável.
Portanto, o sistema de controle fornecido é controlável e observável.