Modelagem de Sistemas Mecânicos

Neste capítulo, vamos discutir o differential equation modelingde sistemas mecânicos. Existem dois tipos de sistemas mecânicos com base no tipo de movimento.

  • Sistemas mecânicos translacionais
  • Sistemas mecânicos rotacionais

Modelagem de Sistemas Mecânicos Translacionais

Sistemas mecânicos translacionais movem-se ao longo de um straight line. Esses sistemas consistem principalmente em três elementos básicos. Esses são massa, mola e painel ou amortecedor.

Se uma força é aplicada a um sistema mecânico translacional, então ela é oposta por forças opostas devido à massa, elasticidade e fricção do sistema. Como a força aplicada e as forças opostas estão em direções opostas, a soma algébrica das forças que atuam no sistema é zero. Vejamos agora a força que esses três elementos enfrentam individualmente.

Massa

A massa é propriedade de um corpo, que armazena kinetic energy. Se uma força é aplicada em um corpo com massaM, então ele é oposto por uma força oposta devido à massa. Essa força oposta é proporcional à aceleração do corpo. Suponha que a elasticidade e o atrito são desprezíveis.

$$ F_m \ propto \: a $$

$$ \ Rightarrow F_m = Ma = M \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} $$

$$ F = F_m = M \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} $$

Onde,

  • F é a força aplicada

  • Fm é a força oposta devido à massa

  • M é massa

  • a é aceleração

  • x é deslocamento

Primavera

Spring é um elemento que armazena potential energy. Se uma força for aplicada na molaK, então ela é oposta por uma força oposta devido à elasticidade da mola. Essa força oposta é proporcional ao deslocamento da mola. Suponha que a massa e o atrito sejam desprezíveis.

$$ F \ propto \: x $$

$$ \ Rightarrow F_k = Kx $$

$$ F = F_k = Kx $$

Onde,

  • F é a força aplicada

  • Fk é a força oposta devido à elasticidade da mola

  • K é constante de primavera

  • x é deslocamento

Dashpot

Se uma força for aplicada no painel B, então ele é oposto por uma força oposta devido a frictiondo painel de controle. Essa força oposta é proporcional à velocidade do corpo. Suponha que a massa e a elasticidade sejam desprezíveis.

$$ F_b \ propto \: \ nu $$

$$ \ Rightarrow F_b = B \ nu = B \ frac {\ text {d} x} {\ text {d} t} $$

$$ F = F_b = B \ frac {\ text {d} x} {\ text {d} t} $$

Onde,

  • Fb é a força oposta devido ao atrito do painel

  • B é o coeficiente de atrito

  • v é velocidade

  • x é deslocamento

Modelagem de Sistemas Mecânicos Rotacionais

Os sistemas mecânicos rotacionais movem-se em torno de um eixo fixo. Esses sistemas consistem principalmente em três elementos básicos. Esses sãomoment of inertia, torsional spring e dashpot.

Se um torque é aplicado a um sistema mecânico rotacional, ele é oposto por torques opostos devido ao momento de inércia, elasticidade e fricção do sistema. Como o torque aplicado e os torques opostos estão em direções opostas, a soma algébrica dos torques atuando no sistema é zero. Vejamos agora o torque enfrentado por esses três elementos individualmente.

Momento de inércia

No sistema mecânico translacional, a massa armazena energia cinética. Da mesma forma, no sistema mecânico rotacional, o momento de inércia armazenakinetic energy.

Se um torque for aplicado em um corpo tendo momento de inércia J, então ele é oposto por um torque oposto devido ao momento de inércia. Este torque oposto é proporcional à aceleração angular do corpo. Suponha que a elasticidade e o atrito são desprezíveis.

$$ T_j \ propto \: \ alpha $$

$$ \ Rightarrow T_j = J \ alpha = J \ frac {\ text {d} ^ 2 \ theta} {\ text {d} t ^ 2} $$

$$ T = T_j = J \ frac {\ text {d} ^ 2 \ theta} {\ text {d} t ^ 2} $$

Onde,

  • T é o torque aplicado

  • Tj é o torque oposto devido ao momento de inércia

  • J é o momento de inércia

  • α é aceleração angular

  • θ é o deslocamento angular

Mola de Torção

No sistema mecânico translacional, a mola armazena energia potencial. Da mesma forma, no sistema mecânico rotacional, armazena a mola de torçãopotential energy.

Se um torque for aplicado na mola de torção K, então ele é oposto por um torque oposto devido à elasticidade da mola de torção. Este torque oposto é proporcional ao deslocamento angular da mola de torção. Suponha que o momento de inércia e fricção sejam desprezíveis.

$$ T_k \ propto \: \ theta $$

$$ \ Rightarrow T_k = K \ theta $$

$$ T = T_k = K \ theta $$

Onde,

  • T é o torque aplicado

  • Tk é o torque oposto devido à elasticidade da mola de torção

  • K é a constante de torção da mola

  • θ é o deslocamento angular

Dashpot

Se um torque for aplicado no painel de instrumentos B, então ele é oposto por um torque oposto devido ao rotational frictiondo painel de controle. Este torque oposto é proporcional à velocidade angular do corpo. Suponha que o momento de inércia e a elasticidade sejam desprezíveis.

$$ T_b \ propto \: \ omega $$

$$ \ Rightarrow T_b = B \ omega = B \ frac {\ text {d} \ theta} {\ text {d} t} $$

$$ T = T_b = B \ frac {\ text {d} \ theta} {\ text {d} t} $$

Onde,

  • Tb é o torque oposto devido ao atrito rotacional do painel de instrumentos

  • B é o coeficiente de atrito rotacional

  • ω é a velocidade angular

  • θ é o deslocamento angular