Matrizes de topologia de rede
No capítulo anterior, discutimos como converter um circuito elétrico em um gráfico equivalente. Agora, vamos discutir as matrizes de topologia de rede que são úteis para resolver qualquer circuito elétrico ou problema de rede usando seus gráficos equivalentes.
Matrizes associadas a gráficos de rede
A seguir estão as três matrizes que são usadas na teoria de grafos.
- Matriz de Incidência
- Matriz de Loop Fundamental
- Matriz de conjunto de corte fundamental
Matriz de Incidência
Uma matriz de incidência representa o gráfico de um determinado circuito elétrico ou rede. Portanto, é possível desenhar o gráfico desse mesmo circuito elétrico ou rede a partir doincidence matrix.
Sabemos que o grafo consiste em um conjunto de nós e esses são conectados por alguns ramos. Assim, a conexão de ramos a um nó é chamada de incidência. A matriz de incidência é representada pela letra A. Também é chamada de nó para matriz de incidência de ramificação ounode incidence matrix.
Se houver 'n' nós e 'b' ramos estão presentes em um directed graph, então a matriz de incidência terá 'n' linhas e 'b' colunas. Aqui, as linhas e colunas correspondem aos nós e ramos de um gráfico direcionado. Portanto, oorder da matriz de incidência será n × b.
o elements of incidence matrix terá um destes três valores, +1, -1 e 0.
Se a corrente do ramal está saindo de um nó selecionado, o valor do elemento será +1.
Se a corrente do ramo estiver entrando em direção a um nó selecionado, o valor do elemento será -1.
Se a ramificação atual não entrar em um nó selecionado nem sair de um nó selecionado, o valor do elemento será 0.
Procedimento para encontrar a matriz de incidência
Siga estas etapas para encontrar a matriz de incidência do gráfico direcionado.
Selecione um nó por vez do dado gráfico direcionado e preencha os valores dos elementos da matriz de incidência correspondentes a esse nó em uma linha.
Repita a etapa acima para todos os nós do gráfico direcionado fornecido.
Exemplo
Considere o seguinte directed graph.
o incidence matrix correspondente ao gráfico direcionado acima será
$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \ end {bmatrix} $$
As linhas e colunas da matriz acima representam os nós e ramos de determinado gráfico direcionado. A ordem dessa matriz de incidência é 4 × 6.
Ao observar a matriz de incidência acima, podemos concluir que o summationde elementos de coluna da matriz de incidência é igual a zero. Isso significa que uma corrente de ramificação sai de um nó e entra apenas em outro nó.
Note- Se o gráfico fornecido for um tipo não direcionado, converta-o em um gráfico direcionado, representando as setas em cada ramificação dele. Podemos considerar a direção arbitrária do fluxo de corrente em cada ramo.
Matriz de Loop Fundamental
Loop fundamental ou f-loopé um loop, que contém apenas um link e um ou mais galhos. Portanto, o número de loops f será igual ao número de links. A matriz de loop fundamental é representada pela letra B. Também é chamada defundamental circuit matrixe matriz de tie-set. Esta matriz fornece a relação entre as correntes do ramal e as correntes do link.
Se houver 'n' nós e 'b' ramos estão presentes em um directed graph, então o número de links presentes em uma co-árvore, que é correspondente à árvore selecionada de determinado gráfico, será b-n + 1.
Portanto, a matriz de loop fundamental terá linhas 'b-n + 1' e colunas 'b'. Aqui, as linhas e colunas correspondem às ligações da co-árvore e das ramificações de determinado gráfico. Portanto, a ordem da matriz de loop fundamental será(b - n + 1) × b.
o elements of fundamental loop matrix terá um destes três valores, +1, -1 e 0.
O valor do elemento será +1 para o link do f-loop selecionado.
O valor dos elementos será 0 para os links e galhos restantes, que não fazem parte do loop f selecionado.
Se a direção da corrente do ramo do f-loop selecionado for igual à da corrente do link do f-loop, então o valor do elemento será +1.
Se a direção da corrente do ramo do laço f selecionado for oposta à da corrente do link do laço f, então o valor do elemento será -1.
Procedimento para encontrar a Matriz de Loop Fundamental
Siga estas etapas para encontrar a matriz de loop fundamental de determinado gráfico direcionado.
Selecione uma árvore de determinado gráfico direcionado.
Incluindo um link por vez, obteremos um f-loop. Preencha os valores dos elementos correspondentes a este f-loop em uma linha da matriz de loop fundamental.
Repita a etapa acima para todos os links.
Exemplo
Dê uma olhada na seguinte Árvore de directed graph, que é considerado para a matriz de incidência.
A Árvore acima contém três ramos d, e e f. Conseqüentemente, os ramos a, b & c serão os links da Co-Árvore correspondente à Árvore acima. Incluindo um link de cada vez para a Árvore acima, obteremos umf-loop. Então, haverá trêsf-loops, uma vez que existem três links. Esses três f-loops são mostrados na figura a seguir.
Na figura acima, os ramos, que são representados com linhas coloridas, formam f-loops. Obteremos os valores dos elementos das linhas da matriz do conjunto de tie-set de cada loop f. Então oTieset matrix da árvore acima considerada será
$$ B = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 1 \ fim {bmatrix} $$
As linhas e colunas da matriz acima representam os links e ramos de determinado gráfico direcionado. A ordem dessa matriz de incidência é 3 × 6.
o number of Fundamental loop matricesde um gráfico direcionado será igual ao número de Árvores desse gráfico direcionado. Porque, cada árvore terá uma matriz de loop fundamental.
Matriz de conjunto de corte fundamental
Conjunto de corte fundamental ou f-cut seté o número mínimo de ramos que são removidos de um gráfico de forma que o gráfico original se torne dois subgráficos isolados. O conjunto f-cut contém apenasone twige um ou mais links. Portanto, o número de conjuntos de corte em f será igual ao número de galhos.
Fundamental cut set matrix é representado com a letra C. Esta matriz fornece a relação entre tensões de ramificação e tensões de galho.
Se houver 'n' nós e 'b' ramos estão presentes em um directed graph, então o número de galhos presentes em uma Árvore selecionada de determinado gráfico será n-1. Portanto, a matriz do conjunto de corte fundamental terá 'n-1' linhas e colunas 'b'. Aqui, as linhas e colunas correspondem aos galhos da árvore selecionada e aos galhos de determinado gráfico. Portanto, oorder da matriz de conjunto de corte fundamental será (n-1) × b.
o elements of fundamental cut set matrix terá um destes três valores, +1, -1 e 0.
O valor do elemento será +1 para o galho do f-cutset selecionado.
O valor dos elementos será 0 para os galhos e links restantes, que não fazem parte do conjunto de corte f selecionado.
Se a direção da corrente do link do conjunto de corte f selecionado for a mesma da corrente do galho do conjunto de corte f, então o valor do elemento será +1.
Se a direção da corrente do link do conjunto de corte f selecionado for oposta à da corrente do galho do conjunto de corte f, então o valor do elemento será -1.
Procedimento para encontrar a matriz de conjunto de corte fundamental
Siga estas etapas para encontrar a matriz de conjunto de corte fundamental de determinado gráfico direcionado.
Selecione uma Árvore de determinado gráfico direcionado e represente os links com as linhas pontilhadas.
Ao remover um galho e os links necessários de cada vez, teremos um conjunto f-cut. Preencha os valores dos elementos correspondentes a este conjunto de corte f em uma linha da matriz de conjunto de corte fundamental.
Repita a etapa acima para todos os galhos.
Exemplo
Considere o mesmo directed graph , que discutimos na seção da matriz de incidência. Selecione os ramos d, e e f deste gráfico direcionado como galhos. Portanto, os ramos restantes a, b & c deste gráfico direcionado serão os links.
o twigs d, e & f são representados com linhas sólidas e links a, b e c são representados com linhas pontilhadas na figura a seguir.
Ao remover um galho e os links necessários de cada vez, teremos um conjunto f-cut. Portanto, haverá três conjuntos de corte em f, já que há três galhos. Estes trêsf-cut sets são mostrados na figura a seguir.
Teremos três conjuntos de corte em f removendo um conjunto de galhos e elos de C 1 , C 2 e C 3 . Obteremos os valores dos elementos de linha da matriz de conjunto de corte fundamental de cada conjunto de corte f. Então ofundamental cut set matrix da árvore acima considerada será
$$ C = \ begin {bmatrix} 1 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \ fim {bmatrix} $$
As linhas e colunas da matriz acima representam os galhos e ramos de determinado gráfico direcionado. A ordem dessa matriz de conjunto de corte fundamental é 3 × 6.
o number of Fundamental cut set matricesde um gráfico direcionado será igual ao número de Árvores desse gráfico direcionado. Porque, cada árvore terá uma matriz de conjunto de corte fundamental.