Teoria de Rede - Resposta de Circuitos AC

No capítulo anterior, discutimos a resposta transiente e a resposta de estado estacionário do circuito CC. Neste capítulo, vamos discutir oresponse of AC circuit. Os conceitos de resposta transiente e resposta de estado estacionário, que discutimos no capítulo anterior, também serão úteis aqui.

Encontrando a Resposta do Circuito Série RL

Considere o seguinte series RL circuit diagrama.

No circuito acima, o switch foi mantido openaté t = 0 e foi fechado em t = 0 . Portanto, a fonte de tensão CA com uma tensão de pico de V m volts não está conectada ao circuito em série RL até este momento. Portanto, existeno initial current flui através do indutor.

O diagrama de circuito, quando o switch é em closed posição, é mostrado na figura a seguir.

Agora, a corrente i (t) flui em todo o circuito, uma vez que a fonte de tensão CA com uma tensão de pico de V m volts está conectada ao circuito série RL.

Sabemos que a corrente i (t) fluindo através do circuito acima terá dois termos, um que representa a parte transitória e outro termo representa o estado estacionário.

Matematicamente, pode ser representado como

$ i (t) = i_ {Tr} (t) + i_ {ss} (t) $Equation 1

Onde,

  • $ i_ {Tr} (t) $ é a resposta transitória da corrente que flui pelo circuito.

  • $ i_ {ss} (t) $ é a resposta em regime permanente da corrente fluindo através do circuito.

No capítulo anterior, obtivemos a resposta transitória da corrente fluindo através do circuito da série RL. Ele está na forma de $ Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} $.

Substitua $ i_ {Tr} (t) = Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} $ na Equação 1.

$ i (t) = Ke ^ {- \ lgrupo \ frac {t} {\ tau} \ rgrupo} + i_ {ss} (t) $Equation 2

Cálculo da corrente em estado estacionário

Se um sinal senoidal é aplicado como uma entrada para um circuito elétrico Linear, ele produz uma saída de estado estacionário, que também é um sinusoidal signal. Os sinais senoidais de entrada e saída terão a mesma frequência, mas diferentes amplitudes e ângulos de fase.

Podemos calcular a resposta de estado estacionário de um circuito elétrico, quando ele é excitado por uma fonte de tensão senoidal usando Laplace Transform approach.

O diagrama de circuito do domínio s, quando o switch é em closed posição, é mostrado na figura a seguir.

No circuito acima, todas as quantidades e parâmetros são representados em s-domain. Essas são as transformadas de Laplace de parâmetros e quantidades no domínio do tempo.

o Transfer function do circuito acima é

$$ H (s) = \ frac {I (s)} {V (s)} $$

$$ \ Rightarrow H (s) = \ frac {1} {Z (s)} $$

$$ \ Rightarrow H (s) = \ frac {1} {R + sL} $$

Substitua $ s = j \ omega $ na equação acima.

$$ H (j \ omega) = \ frac {1} {R + j \ omega L} $$

Magnitude of $ \ mathbf {\ mathit {H (j \ omega)}} $ é

$$ | H (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2} L ^ 2} $$

Phase angle of $ \ mathbf {\ mathit {H (j \ omega)}} $ é

$$ \ angle H (j \ omega) = -tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup $$

Vamos pegar o steady state current $ i_ {ss} (t) $ seguindo as duas etapas a seguir -

  • Multiplique a tensão de pico da tensão sinusoidal de entrada e a magnitude de $ H (j \ omega) $.

  • Adicione os ângulos de fase da tensão sinusoidal de entrada e $ H (j \ omega) $.

o steady state current $ i_ {ss} (t) $ será

$$ i_ {ss} (t) = \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgrupo \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

Substitua o valor de $ i_ {ss} (t) $ na Equação 2.

$ i (t) = Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $Equation 3

Sabemos que não há corrente inicial no circuito. Portanto, substitua t = 0 & i (t) = 0 na Equação 3 para encontrar o valor da constante, K.

$$ 0 = Ke ^ {- \ lgrupo \ frac {0} {\ tau} \ rgrupo} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgrupo \ omega (0) + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

$$ \ Rightarrow 0 = K + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgrupo \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgrupo \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

$$ \ Rightarrow K = - \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgrupo \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgrupo \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

Substitua o valor de K na Equação 3.

$ i (t) = - \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgrupo \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgrupo \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup e ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2 }} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $Equation 4

A Equação 4 representa a corrente fluindo através do circuito em série RL, quando é excitada por uma fonte de tensão senoidal. É ter dois mandatos. O primeiro e o segundo termos representam a resposta transitória e a resposta de estado estacionário da corrente, respectivamente.

Podemos neglect the first termda Equação 4 porque seu valor será muito menor do que um. Então, a corrente resultante fluindo através do circuito será

$$ i (t) = \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgrupo \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgrupo \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$

Contém apenas o steady state term. Portanto, podemos encontrar apenas a resposta de estado estacionário dos circuitos CA e negligenciar a resposta transitória dela.