Teoria da Rede - Conversão Delta em Estrela

No capítulo anterior, discutimos um exemplo de resistência equivalente relacionada a um problema. Lá, nós calculamos oequivalent resistanceentre os terminais A e B da rede elétrica fornecida facilmente. Porque, em cada etapa, temos a combinação de resistores que são conectados tanto em série quanto em paralelo.

No entanto, em algumas situações, é difícil simplificar a rede seguindo a abordagem anterior. Por exemplo, os resistores conectados na forma delta (δ) ou na forma de estrela. Em tais situações, temos queconverta rede de uma forma para a outra, a fim de simplificá-la ainda mais usando combinação em série ou combinação paralela. Neste capítulo, vamos discutir sobre oDelta to Star Conversion.

Delta Network

Considere o seguinte delta network conforme mostrado na figura a seguir.

As seguintes equações representam o equivalent resistance entre dois terminais da rede delta, quando o terceiro terminal é mantido aberto.

$$ R_ {AB} = \ frac {(R_1 + R_3) R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_ {BC} = \ frac {(R_1 + R_2) R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_ {CA} = \ frac {(R_2 + R_3) R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Star Network

A figura a seguir mostra o equivalent star network correspondente à rede delta acima.

As seguintes equações representam o equivalent resistance entre dois terminais da rede em estrela, quando o terceiro terminal é mantido aberto.

$$ R_ {AB} = R_A + R_B $$

$$ R_ {BC} = R_B + R_C $$

$$ R_ {CA} = R_C + R_A $$

Resistências de Rede Star em termos de Resistências de Rede Delta

Obteremos as seguintes equações igualando os termos do lado direito das equações acima para as quais os termos do lado esquerdo são iguais.

$ R_A + R_B = \ frac {(R_1 + R_3) R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 1

$ R_B + R_C = \ frac {(R_1 + R_2) R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 2

$ R_C + R_A = \ frac {(R_2 + R_3) R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 3

Adicionando as três equações acima, obteremos

$$ 2 (R_A + R_B + R_C) = \ frac {2 (R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$ \ Rightarrow R_A + R_B + R_C = \ frac {R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 4

Subtraia a Equação 2 da Equação 4.

$ R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \ frac {R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} - \ frac {(R_1 + R_2) R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $

$$ R_A = \ frac {R_1 R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Subtraindo a Equação 3 da Equação 4, obteremos

$$ R_B = \ frac {R_2 R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Subtraindo a Equação 1 da Equação 4, obteremos

$$ R_C = \ frac {R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Usando as relações acima, podemos encontrar as resistências da rede em estrela a partir das resistências da rede delta. Desta forma, podemos converter umdelta network dentro de star network.

Exemplo

Vamos calcular o resistances of star network, que são equivalentes à rede delta, conforme mostrado na figura a seguir.

Considerando a resistances of delta networkcomo R ₁ = 10 Ω, R ₂ = 60 Ω e R ₃ = 30 Ω.

Conhecemos as seguintes relações das resistências da rede estelar em termos de resistências da rede delta.

$$ R_A = \ frac {R_1 R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_B = \ frac {R_2 R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_C = \ frac {R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Substitua os valores de R ₁ , R ₂ e R ₃ nas equações acima.

$$ R_A = \ frac {10 \ times 60} {10 + 60 + 30} = \ frac {600} {100} = 6 \ Omega $$

$$ R_B = \ frac {60 \ times 30} {10 + 60 + 30} = \ frac {1800} {100} = 18 \ Omega $$

$$ R_C = \ frac {30 \ vezes 10} {10 + 60 + 30} = \ frac {300} {100} = 3 \ Omega $$

Então, temos as resistências da rede estelar como R_A = 6 Ω, R_B = 18 Ω e R_C = 3 Ω, que são equivalentes às resistências da rede delta dada.