Ponto extremo de um conjunto convexo

Seja S um conjunto convexo em $ \ mathbb {R} ^ n $. Um vetor $ x \ em S $ é considerado um ponto extremo de S se $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $ com $ x_1, x_2 \ in S $ e $ \ lambda \ em \ left (0, 1 \ right) \ Rightarrow x = x_1 = x_2 $.

Exemplo

Step 1 - $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 1 \ right \ } $

Ponto extremo, $ E = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 1 \ right \} $

Step 2 - $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_1 + x_2 <2, -x_1 + 2x_2 \ leq 2, x_1, x_2 \ geq 0 \ right \ } $

Ponto extremo, $ E = \ left \ {\ left (0, 0 \ right), \ left (2, 0 \ right), \ left (0, 1 \ right), \ left (\ frac {2} {3 }, \ frac {4} {3} \ right) \ right \} $

Step 3 - S é o politopo formado pelos pontos $ \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2, 4 \ direita), \ esquerda (0,2 \ direita) \ direita \} $

Ponto extremo, $ E = \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2,4 \ right) \ right \} $

Observações

  • Qualquer ponto do conjunto convexo S pode ser representado como uma combinação convexa de seus pontos extremos.

  • Só é verdadeiro para conjuntos fechados e limitados em $ \ mathbb {R} ^ n $.

  • Pode não ser verdade para conjuntos ilimitados.

k pontos extremos

Um ponto em um conjunto convexo é denominado k extremo se e somente se for o ponto interno de um conjunto convexo k-dimensional dentro de S, e não é um ponto interno de um conjunto convexo (k + 1) - dimensional dentro de S. Basicamente, para um conjunto convexo S, k pontos extremos criam faces abertas k-dimensionais.