Otimização convexa - conjunto afim
Um conjunto $ A $ é considerado um conjunto afim se, para quaisquer dois pontos distintos, a linha que passa por esses pontos estiver no conjunto $ A $.
Note -
$ S $ é um conjunto afim se e somente se ele contém todas as combinações afins de seus pontos.
Conjuntos vazios e singleton são conjuntos afins e convexos.
Por exemplo, a solução de uma equação linear é um conjunto afim.
Prova
Seja S a solução de uma equação linear.
Por definição, $ S = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ n: Ax = b \ right \} $
Seja $ x_1, x_2 \ in S \ Rightarrow Ax_1 = b $ e $ Ax_2 = b $
Para provar: $ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = b, \ forall \ theta \ in \ left (0,1 \ right) $
$ A \ left [\ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ right] = \ theta Ax_1 + \ left (1- \ theta \ right) Ax_2 = \ theta b + \ left (1- \ theta \ right ) b = b $
Portanto, S é um conjunto afim.
Teorema
Se $ C $ é um conjunto afim e $ x_0 \ em C $, então o conjunto $ V = C-x_0 = \ left \ {x-x_0: x \ in C \ right \} $ é um subespaço de C.
Prova
Seja $ x_1, x_2 \ em V $
Para mostrar: $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ em V $ para algum $ \ alpha, \ beta $
Agora, $ x_1 + x_0 \ em C $ e $ x_2 + x_0 \ em C $ por definição de V
Agora, $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 + x_0 = \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 $
Mas $ \ alpha \ left (x_1 + x_0 \ right) + \ beta \ left (x_2 + x_0 \ right) + \ left (1- \ alpha - \ beta \ right) x_0 \ em C $ porque C é um conjunto afim .
Portanto, $ \ alpha x_1 + \ beta x_2 \ in V $
Daí provado.