Otimização convexa - Condições de Fritz-John
Condições Necessárias
Teorema
Considere o problema - $ min f \ left (x \ right) $ tal que $ x \ in X $ onde X é um conjunto aberto em $ \ mathbb {R} ^ n $ e deixe $ g_i \ left (x \ right) \ leq 0, \ forall i = 1,2, .... m $.
Seja $ f: X \ rightarrow \ mathbb {R} $ e $ g_i: X \ rightarrow \ mathbb {R} $
Seja $ \ hat {x} $ uma solução viável e sejam f e $ g_i, i \ in I $ sejam diferenciáveis em $ \ hat {x} $ e $ g_i, i \ in J $ sejam contínuos em $ \ hat { x} $.
Se $ \ hat {x} $ resolve o problema acima localmente, então existe $ u_0, u_i \ in \ mathbb {R}, i \ in I $ tal que $ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ direita) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) $ = 0
onde $ u_0, u_i \ geq 0, i \ in I $ e $ \ left (u_0, u_I \ right) \ neq \ left (0,0 \ right) $
Além disso, se $ g_i, i \ in J $ também são diferenciáveis em $ \ hat {x} $, então as condições acima podem ser escritas como -
$ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $
$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) $ = 0
$ u_0, u_i \ geq 0, \ forall i = 1,2, ...., m $
$ \ left (u_0, u \ right) \ neq \ left (0,0 \ right), u = \ left (u_1, u_2, s, u_m \ right) \ in \ mathbb {R} ^ m $
Observações
$ u_i $ são chamados de multiplicadores de Lagrange.
A condição de que $ \ hat {x} $ seja viável para o problema dado é chamada de condição viável primal.
O requisito $ u_0 \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m ui \ bigtriangledown g_i \ left (x \ right) = 0 $ é chamado de viabilidade dupla doença.
A condição $ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0, i = 1, 2, ... m $ é chamada de condição de folga complementar. Esta condição requer $ u_i = 0, i \ in J $
Juntas, a condição de viabilidade primária, a condição de viabilidade dupla e a folga complementar são chamadas de Condições de Fritz-John.
Condições Suficientes
Teorema
Se existe uma vizinhança $ \ varepsilon $ -de $ \ hat {x} N_ \ varejpsilon \ left (\ hat {x} \ right), \ varepsilon> 0 $ tal que f é pseudoconvex sobre $ N_ \ varejpsilon \ left ( \ hat {x} \ right) \ cap S $ e $ g_i, i \ in I $ são estritamente pseudoconvexos sobre $ N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $, então $ \ hat { x} $ é a solução ótima local para o problema descrito acima. Se f é pseudoconvexo em $ \ hat {x} $ e se $ g_i, i \ in I $ são ambos estritamente pseudoconvexo e função quase-convexa em $ \ hat {x}, \ hat {x} $ é a solução ótima global para o problema descrito acima.
Exemplo
$ min \: f \ left (x_1, x_2 \ right) = \ left (x_1-3 \ right) ^ 2 + \ left (x_2-2 \ right) ^ 2 $
de modo que $ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5, x_1 + 2x_2 \ leq 4, x_1, x_2 \ geq 0 $ E $ \ hat {x} = \ left (2 , 1 \ right) $
Deixe $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5, $
$ g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_1 + 2x_2-4, $
$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_1 $ e $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) = -x_2 $.
Assim, as restrições acima podem ser escritas como -
$ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $
$ g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $
$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ e
$ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ Assim, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $ portanto, $ u_3 = 0, u_4 = 0 $
$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (2, -2 \ right), \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (4,2 \ right) ) $ e $ \ bigtriangledown g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (1,2 \ right) $
Assim, colocando esses valores na primeira condição das condições de Fritz-John, obtemos -
$ u_0 = \ frac {3} {2} u_2, \: \: u_1 = \ frac {1} {2} u_2, $ e $ u_2 = 1 $, portanto $ u_0 = \ frac {3} {2} , \: \: u_1 = \ frac {1} {2} $
Assim, as condições de Fritz John são satisfeitas.
$ min f \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_1 $.
de modo que $ x_2- \ left (1-x_1 \ right) ^ 3 \ leq 0 $,
$ -x_2 \ leq 0 $ e $ \ hat {x} = \ left (1,0 \ right) $
Deixe $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_2- \ left (1-x_1 \ right) ^ 3 $,
$ g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_2 $
Assim, as restrições acima podem ser escritas como -
$ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $
$ g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $
Assim, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $
$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (-1,0 \ right) $
$ \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (0,1 \ right) $ e $ g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (0, -1 \ right) ) $
Assim, colocando esses valores na primeira condição das condições de Fritz-John, obtemos -
$ u_0 = 0, \: \: u_1 = u_2 = a> 0 $
Assim, as condições de Fritz John são satisfeitas.