Condições necessárias de otimização de Karush-Kuhn-Tucker

Considere o problema -

$ min \: f \ left (x \ right) $ tal que $ x \ in X $, onde X é um conjunto aberto em $ \ mathbb {R} ^ n $ e $ g_i \ left (x \ right) \ leq 0, i = 1, 2, ..., m $

Seja $ S = \ left \ {x \ in X: g_i \ left (x \ right) \ leq 0, \ forall i \ right \} $

Seja $ \ hat {x} \ in S $ e seja $ f $ e $ g_i, i \ in I $ são diferenciáveis ​​em $ \ hat {x} $ e $ g_i, i \ in J $ são contínuos em $ \ hat {x} $. Além disso, $ \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right), i \ in I $ são linearmente independentes. Se $ \ hat {x} $ resolve o problema acima localmente, então existe $ u_i, i \ in I $ tal que

$ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $, $ \: \: u_i \ geq 0, i \ in I $

Se $ g_i, i \ in J $ também são diferenciáveis ​​em $ \ hat {x} $. então $ \ hat {x} $, então

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0, \ forall i = 1,2, ..., m $

$ u_i \ geq 0 \ forall i = 1,2, ..., m $

Exemplo

Considere o seguinte problema -

$ min \: f \ left (x_1, x_2 \ right) = \ left (x_1-3 \ right) ^ 2 + \ left (x_2-2 \ right) ^ 2 $

de modo que $ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5 $,

$ x_1,2x_2 \ geq 0 $ e $ \ hat {x} = \ left (2,1 \ right) $

Seja $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5 $,

$ g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} + 2x_2-4 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_ {1} $ e $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_2 $

Assim, as restrições acima podem ser escritas como -

$ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $ e $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ Assim, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $ portanto , $ u_3 = 0, \: \: u_4 = 0 $

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (2, -2 \ right), \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (4,2 \ right) ) $ e

$ \ bigtriangledown g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (1,2 \ right) $

Assim, colocando esses valores na primeira condição das condições de Karush-Kuhn-Tucker, obtemos -

$ u_1 = \ frac {1} {3} $ e $ u_2 = \ frac {2} {3} $

Assim, as condições de Karush-Kuhn-Tucker são satisfeitas.