Função Convexa e Côncava
Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, onde S é convexo não vazio definido em $ \ mathbb {R} ^ n $, então $ f \ left (x \ right) $ é considerado convexo em S if $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left ( x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $.
Por outro lado, seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, onde S é convexo não vazio definido em $ \ mathbb {R} ^ n $, então $ f \ left (x \ right) $ é dito a ser côncavo em S se $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) ) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ onde S é não vazio convexo definido em $ \ mathbb {R} ^ n $, então $ f \ left (x \ right) $ é dito ser estritamente convexo em S if $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <\ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ onde S é não vazio convexo definido em $ \ mathbb {R} ^ n $, então $ f \ left (x \ right) $ é dito ser estritamente côncavo em S if $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
Exemplos
Uma função linear é convexa e côncava.
$ f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | $ é uma função convexa.
$ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ é uma função convexa.
Teorema
Sejam $ f_1, f_2, ..., f_k: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $ funções convexas. Considere a função $ f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (x \ right) $ onde $ \ alpha_j> 0, j = 1, 2,. ..k, $ então $ f \ left (x \ right) $ é uma função convexa.
Prova
Já que $ f_1, f_2, ... f_k $ são funções convexas
Portanto, $ f_i \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f_i \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f_i \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ e $ i = 1, 2, ...., k $
Considere a função $ f \ left (x \ right) $.
Portanto,
$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) $
$ = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (\ lambda x_1 + 1- \ lambda \ right) x_2 \ leq \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_j \ lambda f_j \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f_j \ left (x_2 \ right) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ left ( x_1 \ right) \ right) + \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ left (x_2 \ right) \ right) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_2 \ right) \ leq \ left (1- \ lambda \ right) f \ esquerda (x_2 \ direita) $
Portanto, $ f \ left (x \ right) $ é uma função convexa.
Teorema
Seja $ f \ left (x \ right) $ uma função convexa em um conjunto convexo $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ então um mínimo local de $ f \ left (x \ right) $ em S é um mínimos globais.
Prova
Seja $ \ hat {x} $ um mínimo local para $ f \ left (x \ right) $ e $ \ hat {x} $ não é um mínimo global.
portanto, $ \ existe \ hat {x} \ em S $ tal que $ f \ left (\ bar {x} \ right) <f \ left (\ hat {x} \ right) $
Como $ \ hat {x} $ é um mínimo local, existe a vizinhança $ N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) $ tal que $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $
Mas $ f \ left (x \ right) $ é uma função convexa em S, portanto, para $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
temos $ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ leq \ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (\ bar {x} \ right) $
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <\ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ direita) f \ left (\ hat {x} \ right) $
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <f \ left (\ hat {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0 , 1 \ right) $
Mas para alguns $ \ lambda <1 $, mas perto de 1, temos
$ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $ e $ f \ left ( \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ right) <f \ left (\ bar {x} \ right) $
o que é uma contradição.
Portanto, $ \ bar {x} $ é um mínimo global.
Epígrafe
seja S um subconjunto não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $ e seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ então a epígrafe de f denotada por epi (f) ou $ E_f $ é um subconjunto de $ \ mathbb {R} ^ n + 1 $ definido por $ E_f = \ left \ {\ left (x, \ alpha \ right): x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb { R}, f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \} $
Hypograph
seja S um subconjunto não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $ e seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, então o hipógrafo de f denotado por hyp (f) ou $ H_f = \ left \ {\ left (x, \ alpha \ right): x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R}, f \ left ( x \ right) \ geq \ alpha \ right \} $
Teorema
Seja S um conjunto convexo não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $ e seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $, então f é convexo se e somente se sua epígrafe $ E_f $ for um conjunto convexo.
Prova
Seja f uma função convexa.
Para mostrar que $ E_f $ é um conjunto convexo.
Deixe $ \ left (x_1, \ alpha_1 \ right), \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ in E_f, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
Para mostrar $ \ lambda \ left (x_1, \ alpha_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ em E_f $
$ \ Rightarrow \ left [\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ alpha_1 + \ left (1- \ lambda \ right) \ alpha_2 \ right] \ in E_f $
$ f \ left (x_1 \ right) \ leq \ alpha _1, f \ left (x_2 \ right) \ leq \ alpha _2 $
Portanto, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ direita) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda \ alpha_1 + \ left (1- \ lambda \ right) \ alpha_2 $
Conversar
Seja $ E_f $ um conjunto convexo.
Mostrar f é convexo.
ou seja, para mostrar se $ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ left (0, 1 \ right) $
$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right) $
Seja $ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right), f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} $
Como $ E_f $ é um conjunto convexo, $ \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ direita) f \ left (x_2 \ right) \ in E_f $
Portanto, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ direita) $