Função fortemente quasiconvexa
Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ e S um conjunto convexo não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $ então f é uma função fortemente quase-convexa se para qualquer $ x_1, x_2 \ in S $ com $ \ left (x_1 \ right) \ neq \ left (x_2 \ right) $, temos $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ esquerda \ {f \ esquerda (x_1 \ direita), f \ esquerda (x_2 \ direita) \ direita \}, \ forall \ lambda \ in \ esquerda (0,1 \ direita) $
Teorema
Uma função quase-convexa $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ em um conjunto convexo não vazio S em $ \ mathbb {R} ^ n $ é uma função quase-convexa se não for constante em um segmento de linha que junta qualquer pontos de S.
Prova
Seja f uma função quase-convexa e não é constante em um segmento de linha que une quaisquer pontos de S.
Suponha que f não seja uma função fortemente quasiconvexa.
Existem $ x_1, x_2 \ em S $ com $ x_1 \ neq x_2 $ de modo que
$$ f \ left (z \ right) \ geq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall z = \ lambda x_1 + \ left (1 - \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$
$ \ Rightarrow f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ e $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $
Como f não é constante em $ \ left [x_1, z \ right] $ e $ \ left [z, x_2 \ right] $
Portanto, existe $ u \ in \ left [x_1, z \ right] $ e $ v = \ left [z, x_2 \ right] $
$$ \ Rightarrow u = \ mu_1x_1 + \ left (1- \ mu_1 \ right) z, v = \ mu_2z + \ left (1- \ mu_2 \ right) x_2 $$
Uma vez que f é quase-convexo,
$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (z \ right) \ right \} = f \ left (z \ right) \ : \: e \: \: f \ left (v \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (z \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$
$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (z \ right) \: \: e \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ $
$$ \ Rightarrow max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $$
Mas z é qualquer ponto entre uev, se algum deles for igual, então f é constante.
Portanto, $ max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $
o que contradiz a quase-convexidade de f como $ z \ in \ left [u, v \ right] $.
Portanto, f é uma função fortemente quase-convexa.
Teorema
Sejam $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ e S um conjunto convexo não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $. Se $ \ hat {x} $ é a solução ótima local, então $ \ hat {x} $ é a solução ótima global única.
Prova
Uma vez que uma função quasiconvexa forte também é uma função quasiconvexa estritamente, uma solução ótima local é uma solução ótima global.
Uniqueness - Seja f atinge a solução ótima global em dois pontos $ u, v \ in S $
$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ Forall x \ in S \: \: e \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ esquerda (x \ direita). \ forall x \ em S $$
Se u for a solução ótima global, $ f \ left (u \ right) \ leq f \ left (v \ right) $ e $ f \ left (v \ right) \ leq f \ left (u \ right) \ Rightarrow f \ left (u \ right) = f \ left (v \ right) $
$$ f \ left (\ lambda u + \ left (1- \ lambda \ right) v \ right) <max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} = f \ left (u \ right) $$
o que é uma contradição.
Portanto, existe apenas uma solução ótima global.
Observações
- Uma função fortemente quase-convexa também é uma função estritamente quase-convexa.
- Uma função estritamente convexa pode ou não ser fortemente quase convexa.
- Um diferenciável estritamente convexo é fortemente quasiconvexo.