Função Pseudoconvex

Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ uma função diferenciável e S um conjunto convexo não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $, então f é dito ser pseudoconvexo se para cada $ x_1, x_2 \ em S $ com $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, temos $ f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left ( x_1 \ right) $, ou equivalentemente se $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ then $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right ) <0 $

Função pseudoconcava

Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ uma função diferenciável e S um conjunto convexo não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $, então f é dito ser pseudoconvexo se para cada $ x_1, x_2 \ em S $ com $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, temos $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left ( x_1 \ right) $, ou equivalentemente se $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ then $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right )> 0 $

Observações

  • Se uma função for pseudoconvexa e pseudoconcava, é chamada de pseudolinear.

  • Uma função convexa diferenciável também é pseudoconvexa.

  • Uma função pseudoconvexa pode não ser convexa. Por exemplo,

    $ f \ left (x \ right) = x + x ^ 3 $ não é convexo. Se $ x_1 \ leq x_2, x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3} $

    Assim, $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) = \ left (1 + 3x_ {1} ^ {2} \ right) \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $

    E, $ f \ left (x_2 \ right) -f \ left (x_1 \ right) = \ left (x_2-x_1 \ right) + \ left (x_ {2} ^ {3} -x_ {1} ^ {3 } \ right) \ geq 0 $

    $ \ Rightarrow f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left (x_1 \ right) $

    Portanto, é um pseudoconvexo.

    Uma função pseudoconvexa é estritamente quase-convexa. Assim, cada mínimo local de pseudoconvexo também é mínimo global.

Função estritamente pseudoconvexo

Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ uma função diferenciável e S um conjunto convexo não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $, então f é dito ser pseudoconvexo se para cada $ x_1, x_2 \ em S $ com $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, temos $ f \ left (x_2 \ right)> f \ left (x_1 \ right) $, ou equivalentemente se $ f \ left (x_1 \ right) \ geq f \ left (x_2 \ right) $ then $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right ) <0 $

Teorema

Seja f uma função de pseudoconvexo e suponha que $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $ para algum $ \ hat {x} \ in S $, então $ \ hat {x} $ é o ótimo global solução de f sobre S.

Prova

Seja $ \ hat {x} $ um ponto crítico de f, ou seja, $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

Como f é uma função pseudoconvexa, para $ x \ em S, $ temos

$$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) \ left (x- \ hat {x} \ right) = 0 \ Rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in S $$

Portanto, $ \ hat {x} $ é a solução ótima global.

Observação

Se f é uma função estritamente pseudoconvexa, $ \ hat {x} $ é a solução ótima global única.

Teorema

Se f é função pseudoconvexa diferenciável em relação a S, então f é função tanto estritamente quasiconvexa quanto quasiconvexa.

Observações

  • A soma de duas funções de pseudoconvexo definidas em um conjunto aberto S de $ \ mathbb {R} ^ n $ não pode ser pseudoconvexo.

  • Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ uma função quase-convexa e S um subconjunto convexo não vazio de $ \ mathbb {R} ^ n $ então f é pseudoconvexo se e somente se cada ponto crítico for global mínimos de f sobre S.

  • Seja S um subconjunto convexo não vazio de $ \ mathbb {R} ^ n $ e $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ uma função tal que $ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) \ neq 0 $ para cada $ x \ em S $ então f é pseudoconvexo se e somente se for uma função quase-convexa.