Otimização Convexa - Casco

O envoltório convexo de um conjunto de pontos em S é o limite da menor região convexa que contém todos os pontos de S dentro dele ou em seu limite.

OU

Seja $ S \ subseteq \ mathbb {R} ^ n $ O casco convexo de S, denotado $ Co \ left (S \ right) $ por é a coleção de todas as combinações convexas de S, ou seja, $ x \ in Co \ left (S \ direita) $ se e somente se $ x \ in \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ix_i $, onde $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ n \ lambda_i = 1 $ e $ \ lambda_i \ geq 0 \ forall x_i \ in S $

Remark - O casco dos conves de um conjunto de pontos em S no plano define um polígono convexo e os pontos de S na fronteira do polígono definem os vértices do polígono.

Theorem $ Co \ left (S \ right) = \ left \ {x: x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ix_i, x_i \ in S, \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_i = 1, \ lambda_i \ geq 0 \ right \} $ Mostre que um casco convexo é um conjunto convexo.

Prova

Seja $ x_1, x_2 \ in Co \ left (S \ right) $, então $ x_1 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ix_i $ e $ x_2 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ \ gamma x_i $ onde $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_i = 1, \ lambda_i \ geq 0 $ e $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ gamma_i = 1, \ gamma_i \ geq0 $

Para $ \ theta \ in \ left (0,1 \ right), \ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 = \ theta \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_ix_i + \ left (1- \ theta \ right) \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ gamma_ix_i $

$ \ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ lambda_i \ theta x_i + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ gamma_i \ esquerda (1- \ theta \ right) x_i $

$ \ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ esquerdo [\ lambda_i \ theta + \ gamma_i \ left (1- \ theta \ right) \ direita] x_i $

Considerando os coeficientes,

$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left [\ lambda_i \ theta + \ gamma_i \ left (1- \ theta \ right) \ right] = \ theta \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1 } ^ n \ lambda_i + \ left (1- \ theta \ right) \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ gamma_i = \ theta + \ left (1- \ theta \ right) = 1 $

Portanto, $ \ theta x_1 + \ left (1- \ theta \ right) x_2 \ in Co \ left (S \ right) $

Assim, um casco convexo é um conjunto convexo.