Teorema de Carateodory

Seja S um conjunto arbitrário em $ \ mathbb {R} ^ n $ .Se $ x \ em Co \ left (S \ right) $, então $ x \ em Co \ left (x_1, x_2, ...., x_n, x_ {n + 1} \ direita) $.

Prova

Como $ x \ em Co \ left (S \ right) $, então $ x $ é representado por uma combinação convexa de um número finito de pontos em S, ou seja,

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_jx_j, \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_j = 1, \ lambda_j \ geq 0 $ e $ x_j \ in S, \ forall j \ in \ left (1, k \ right) $

Se $ k \ leq n + 1 $, o resultado obtido é obviamente verdadeiro.

Se $ k \ geq n + 1 $, então $ \ left (x_2-x_1 \ right) \ left (x_3-x_1 \ right), ....., \ left (x_k-x_1 \ right) $ são linearmente dependentes .

$ \ Rightarrow \ existe \ mu _j \ in \ mathbb {R}, 2 \ leq j \ leq k $ (nem todos zero) de modo que $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j \ left (x_j-x_1 \ direita) = 0 $

Defina $ \ mu_1 = - \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j $, então $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j x_j = 0, \ displaystyle \ sum \ limites_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $

onde nem todos $ \ mu_j's $ são iguais a zero. Já que $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $, pelo menos um dos $ \ mu_j> 0,1 \ leq j \ leq k $

Então, $ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j + 0 $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j- \ alpha \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ mu_j x_j $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $

Escolha $ \ alpha $ de forma que $ \ alpha = min \ left \ {\ frac {\ lambda_j} {\ mu_j}, \ mu_j \ geq 0 \ right \} = \ frac {\ lambda_j} {\ mu _j}, $ para algum $ i = 1,2, ..., k $

Se $ \ mu_j \ leq 0, \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0 $

Se $ \ mu_j> 0, então \: \ frac {\ lambda _j} {\ mu_j} \ geq \ frac {\ lambda_i} {\ mu _i} = \ alpha \ Rightarrow \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0, j = 1,2, ... k $

Em particular, $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $, por definição de $ \ alpha $

$ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $, onde

$ \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq0 $ e $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) = 1 $ e $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $

Assim, x pode ser representado como uma combinação convexa de no máximo (k-1) pontos.

Este processo de redução pode ser repetido até que x seja representado como uma combinação convexa de (n + 1) elementos.