Funções quasiconvexas e quasiconcavas

Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ onde $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ é um conjunto convexo não vazio. A função f é quase convexa se para cada $ x_1, x_2 \ em S $, temos $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Por exemplo, $ f \ left (x \ right) = x ^ {3} $

Seja $ f: S \ rightarrow R $ onde $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ é um conjunto convexo não vazio. Diz-se que a função f é quase-convexa se para cada $ x_1, x_2 \ em S $, tivermos $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Observações

• Cada função convexa é quase-convexa, mas o inverso não é verdadeiro.
• Uma função que é quasiconvexa e quasiconcava é chamada de quasimonotone.

Teorema

Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ e S é um conjunto convexo não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $. A função f é quase-convexa se e somente se $ S _ {\ alpha} = \ left (x \ in S: f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \} $ é convexa para cada número real \ alpha $

Prova

Seja f quase-convexo em S.

Seja $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha} $, portanto $ x_1, x_2 \ in S $ e $ max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

Deixe $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ e deixe $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right) , f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ Rightarrow x \ in S $

Assim, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

Portanto, $ S _ {\ alpha} $ é convexo.

Conversar

Seja $ S _ {\ alpha} $ convexo para cada $ \ alpha $

$ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $

$ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

Seja $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

Para $ x_1, x_2 \ in S _ {\ alpha}, \ alpha = max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ in S _ {\ alpha} $

$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ alpha $

Conseqüentemente provado.

Teorema

Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ e S é um conjunto convexo não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $. A função f é quase côncava se e somente se $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) \ geq \ alpha \ right \} $ é convexo para cada número real $ \ alpha $.

Teorema

Seja $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ e S é um conjunto convexo não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $. A função f é quase-tônica se e somente se $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) = \ alpha \ right \} $ é convexo para cada número real $ \ alpha $.