Algoritmos para problema convexo

Método de descida mais íngreme

Este método também é chamado de método do gradiente ou método de Cauchy. Este método envolve as seguintes terminologias -

$$ x_ {k + 1} = x_k + \ alpha_kd_k $$

$ d_k = - \ bigtriangledown f \ left (x_k \ right) $ ou $ d_k = - \ frac {\ bigtriangledown f \ left (x_k \ right)} {\ left \ | \ bigtriangledown f \ left (x_k \ right) \ right \ |} $

Seja $ \ phi \ left (\ alpha \ right) = f \ left (x_k + \ alpha d_k \ right) $

Diferenciando $ \ phi $ e igualando-o a zero, podemos obter $ \ alpha $.

Portanto, o algoritmo é o seguinte -

• Inicialize $ x_0 $, $ \ varepsilon_1 $, $ \ varepsilon_2 $ e defina $ k = 0 $.

• Defina $ d_k = - \ bigtriangledown f \ left (x_k \ right) $ ou $ d_k = - \ frac {\ bigtriangledown f \ left (x_k \ right)} {\ left \ | \ bigtriangledown f \ left (x_k \ right) \ right \ |} $.

• encontre $ \ alpha_k $ de forma que minimize $ \ phi \ left (\ alpha \ right) = f \ left (x_k + \ alpha d_k \ right) $.

• Defina $ x_ {k + 1} = x_k + \ alpha_kd_k $.

• Se $ \ left \ | x_ {k + 1-x_k} \ right \ | <\ varejpsilon_1 $ ou $ \ left \ | \ bigtriangledown f \ left (x_ {k + 1} \ right) \ right \ | \ leq \ varepsilon_2 $, vá para a etapa 6, caso contrário, defina $ k = k + 1 $ e vá para a etapa 2.

• A solução ótima é $ \ hat {x} = x_ {k + 1} $.

Método Newton

O Método de Newton trabalha com o seguinte princípio -

$ f \ left (x \ right) = y \ left (x \ right) = f \ left (x_k \ right) + \ left (x-x_k \ right) ^ T \ bigtriangledown f \ left (x_k \ right) + \ frac {1} {2} \ left (x-x_k \ right) ^ TH \ left (x_k \ right) \ left (x-x_k \ right) $

$ \ bigtriangledown y \ left (x \ right) = \ bigtriangledown f \ left (x_k \ right) + H \ left (x_k \ right) \ left (x-x_k \ right) $

Em $ x_ {k + 1}, \ bigtriangledown y \ left (x_ {k + 1} \ right) = \ bigtriangledown f \ left (x_k \ right) + H \ left (x_k \ right) \ left (x_ {k +1} -x_k \ right) $

Para $ x_ {k + 1} $ ser a solução ótima $ \ bigtriangledown y \ left (x_k + 1 \ right) = 0 $

Assim, $ x_ {k + 1} = x_k-H \ left (x_k \ right) ^ {- 1} \ bigtriangledown f \ left (x_k \ right) $

Aqui $ H \ left (x_k \ right) $ deve ser não singular.

Portanto, o algoritmo funciona da seguinte forma -

Step 1 - Inicialize $ x_0, \ varepsilon $ e defina $ k = 0 $.

Step 2 - encontre $ H \ left (x_k \ right) \ bigtriangledown f \ left (x_k \ right) $.

Step 3 - Resolva para o sistema linear $ H \ left (x_k \ right) h \ left (x_k \ right) = \ bigtriangledown f \ left (x_k \ right) $ para $ h \ left (x_k \ right) $.

Step 4 - encontre $ x_ {k + 1} = x_k-h \ left (x_k \ right) $.

Step 5- Se $ \ left \ | x_ {k + 1} -x_k \ right \ | <\ varepsilon $ ou $ \ left \ | \ bigtriangledown f \ left (x_k \ right) \ right \ | \ leq \ varepsilon $ então vá para a etapa 6, caso contrário, defina $ k = k + 1 $ e vá para a etapa 2.

Step 6 - A solução ótima é $ \ hat {x} = x_ {k + 1} $.

Método do gradiente conjugado

Este método é usado para resolver problemas dos seguintes tipos -

$ min f \ left (x \ right) = \ frac {1} {2} x ^ T Qx-bx $

onde Q é uma matriz nXn definida positiva e b é constante.

Dado $ x_0, \ varepsilon, $ compute $ g_0 = Qx_0-b $

Defina $ d_0 = -g_0 $ para $ k = 0,1,2, ..., $

Defina $ \ alpha_k = \ frac {g_ {k} ^ {T} g_k} {d_ {k} ^ {T} Q d_k} $

Calcule $ x_ {k + 1} = x_k + \ alpha_kd_k $

Defina $ g_ {k + 1} = g_k + \ alpha_kd_k $

Calcule $ \ beta_k = \ frac {g_ {k} ^ {T} g_k} {d_ {k} ^ {T} Qd_k} $

Calcule $ x_ {k + 1} = x_k + \ alpha_kd_k $

Defina $ g_ {k + 1} = x_k + \ alpha_kQd_k $

Calcule $ \ beta_k = \ frac {g_ {k + 1} ^ {T} g_ {k + 1}} {g_ {k} ^ {T} gk} $

Defina $ d_ {k + 1} = - g_ {k + 1} + \ beta_kd_k $.