Otimização convexa - Desigualdade de Jensen

Seja S um conjunto convexo não vazio em $ \ mathbb {R} ^ n $ e $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $. Então f é convexo se e somente se para cada inteiro $ k> 0 $

$ x_1, x_2, ... x_k \ in S, \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda_i = 1, \ lambda_i \ geq 0, \ forall i = 1,2, s, k $, temos $ f \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda_ix_i \ right) \ leq \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ k \ lambda _if \ left (x \ right) $

Prova

Por indução em k.

$ k = 1: x_1 \ in S $ Portanto $ f \ left (\ lambda_1 x_1 \ right) \ leq \ lambda_i f \ left (x_1 \ right) $ porque $ \ lambda_i = 1 $.

$ k = 2: \ lambda_1 + \ lambda_2 = 1 $ e $ x_1, x_2 \ em S $

Portanto, $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ em S $

Portanto, por definição, $ f \ left (\ lambda_1 x_1 + \ lambda_2 x_2 \ right) \ leq \ lambda _1f \ left (x_1 \ right) + \ lambda _2f \ left (x_2 \ right) $

Deixe que a afirmação seja verdadeira para $ n <k $

Portanto,

$ f \ left (\ lambda_1 x_1 + \ lambda_2 x_2 + .... + \ lambda_k x_k \ right) \ leq \ lambda_1 f \ left (x_1 \ right) + \ lambda_2 f \ left (x_2 \ right) + ... + \ lambda_k f \ left (x_k \ right) $

$ k = n + 1: $ Let $ x_1, x_2, .... x_n, x_ {n + 1} \ em S $ e $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n + 1} = 1 $

Portanto $ \ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ....... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ em S $

portanto, $ f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) $

$ = f \ left (\ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ right) \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + \ mu_3} + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ direita) $

$ = f \ left (\ mu_y + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) $ onde $ \ mu = \ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n $ e

$ y = \ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} $ e também $ \ mu_1 + \ mu_ {n + 1} = 1, y \ em S $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq \ mu f \ left (y \ right) + \ mu_ {n +1} f \ left (x_ {n + 1} \ right) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq $

$ \ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ right) f \ left (\ frac {\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} \ right) + \ mu_ {n + 1} f \ left (x_ {n + 1} \ right) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq \ left (\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n \ direita) $

$ \ left [\ frac {\ mu_1} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} f \ left (x_1 \ right) + ... + \ frac {\ mu_n} {\ mu_1 + \ mu_2 + ... + \ mu_n} f \ left (x_n \ right) \ right] + \ mu_ {n + 1} f \ left (x_ {n + 1} \ right) $

$ \ Rightarrow f \ left (\ mu_1x_1 + \ mu_2x_2 + ... + \ mu_nx_n + \ mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \ right) \ leq \ mu_1f \ left (x_1 \ right) + \ mu_2f \ left ( x_2 \ right) + .... $

Daí provado.