Teorema da Amostragem de Sinais

Statement:Um sinal de tempo contínuo pode ser representado em suas amostras e pode ser recuperado quando a frequência de amostragem f s é maior ou igual ao dobro do componente de frequência mais alto do sinal de mensagem. ie

$$ f_s \ geq 2 f_m. $$

Proof:Considere um sinal de tempo contínuo x (t). O espectro de x (t) é uma banda limitada a f m Hz, isto é, o espectro de x (t) é zero para | ω |> ω m .

A amostragem do sinal de entrada x (t) pode ser obtida multiplicando x (t) por um trem de impulso δ (t) de período T s . A saída do multiplicador é um sinal discreto denominado sinal amostrado, que é representado com y (t) nos seguintes diagramas:

Aqui, você pode observar que o sinal amostrado leva o período de impulso. O processo de amostragem pode ser explicado pela seguinte expressão matemática:

$ \ text {Sinal amostrado} \, y (t) = x (t). \ delta (t) \, \, ... \, ... (1) $

A representação trigonométrica da série de Fourier de $ \ delta $ (t) é dada por

$ \ delta (t) = a_0 + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (a_n \ cos⁡ n \ omega_s t + b_n \ sin⁡ n \ omega_s t) \, \, ... \ ,. .. (2) $

Onde $ a_0 = {1 \ sobre T_s} \ int _ {- T \ sobre 2} ^ {T \ sobre 2} \ delta (t) dt = {1 \ sobre T_s} \ delta (0) = {1 \ sobre T_s } $

$ a_n = {2 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) \ cos n \ omega_s \, dt = {2 \ over T_2} \ delta (0) \ cos n \ omega_s 0 = {2 \ sobre T} $

$ b_n = {2 \ over T_s} \ int _ {- T \ over 2} ^ {T \ over 2} \ delta (t) \ sin⁡ n \ omega_s t \, dt = {2 \ over T_s} \ delta ( 0) \ sin⁡ n \ omega_s 0 = 0 $

Substitua os valores acima na equação 2.

$ \ portanto \, \ delta (t) = {1 \ sobre T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ sobre T_s} \ cos ⁡ n \ omega_s t + 0) $

Substitua δ (t) na equação 1.

$ \ para y (t) = x (t). \ delta (t) $

$ = x (t) [{1 \ over T_s} + \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} ({2 \ over T_s} \ cos n \ omega_s t)] $

$ = {1 \ over T_s} [x (t) + 2 \ Sigma_ {n = 1} ^ {\ infty} (\ cos n \ omega_s t) x (t)] $

$ y (t) = {1 \ sobre T_s} [x (t) + 2 \ cos \ omega_s tx (t) + 2 \ cos 2 \ omega_st.x (t) + 2 \ cos 3 \ omega_s tx (t) \, ... \, ... \,] $

Faça a transformação de Fourier em ambos os lados.

$ Y (\ omega) = {1 \ over T_s} [X (\ omega) + X (\ omega- \ omega_s) + X (\ omega + \ omega_s) + X (\ omega-2 \ omega_s) + X (\ omega + 2 \ omega_s) + \, ...] $

$ \ portanto \, \, Y (\ omega) = {1 \ sobre T_s} \ Sigma_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} X (\ omega - n \ omega_s) \ quad \ quad onde \, \ , n = 0, \ pm1, \ pm2, ... $

Para reconstruir x (t), você deve recuperar o espectro do sinal de entrada X (ω) do espectro do sinal amostrado Y (ω), o que é possível quando não há sobreposição entre os ciclos de Y (ω).

A possibilidade do espectro de frequência amostrado com diferentes condições é dada pelos seguintes diagramas:

Efeito de Aliasing

A região sobreposta em caso de subamostragem representa o efeito de aliasing, que pode ser removido por

  • considerando f s > 2f m

  • Usando filtros anti-aliasing.