Propriedades da série Fourier

Estas são as propriedades da série Fourier:

Propriedade de Linearidade

Se $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $ & $ y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {yn} $

então a propriedade de linearidade afirma que

$ \ text {a} \, x (t) + \ text {b} \, y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, series} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} \ text {a} \, f_ {xn} + \ text {b} \, f_ {yn} $

Propriedade Time Shifting

Se $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

então a propriedade de mudança de tempo afirma que

$ x (t-t_0) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} e ^ {- jn \ omega_0 t_0} f_ {xn} $

Propriedade de deslocamento de frequência

Se $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

então a propriedade de mudança de frequência afirma que

$ e ^ {jn \ omega_0 t_0}. x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {x (n-n_0)} $

Propriedade de reversão do tempo

Se $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

então a propriedade de reversão do tempo afirma que

Se $ x (-t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f _ {- xn} $

Propriedade de escala de tempo

Se $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

então a propriedade de escala de tempo afirma que

Se $ x (at) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

A propriedade de escala de tempo altera os componentes de frequência de $ \ omega_0 $ para $ a \ omega_0 $.

Propriedades de diferenciação e integração

Se $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

então a propriedade de diferenciação afirma que

Se $ {dx (t) \ over dt} \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} jn \ omega_0. f_ {xn} $

e a propriedade de integração afirma que

Se $ \ int x (t) dt \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} {f_ {xn} \ over jn \ omega_0} $

Propriedades de multiplicação e convolução

Se $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $ & $ y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {yn} $

então a propriedade de multiplicação afirma que

$ x (t). y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} T f_ {xn} * f_ {yn} $

A propriedade de convolução afirma que

$ x (t) * y (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} T f_ {xn}. f_ {yn} $

Propriedades do Conjugado e Simetria do Conjugado

Se $ x (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f_ {xn} $

Em seguida, a propriedade conjugada afirma que

$ x * (t) \ xleftarrow [\,] {fourier \, série} \ xrightarrow [\,] {coeficiente} f * _ {xn} $

A propriedade de simetria conjugada para o sinal de tempo com valor real afirma que

$$ f * _ {xn} = f _ {- xn} $$

& Propriedade de simetria conjugada para sinais de tempo com valor imaginário afirmam que

$$ f * _ {xn} = -f _ {- xn} $$