Região de Convergência (ROC)

A variação da faixa de σ para a qual a transformada de Laplace converge é chamada de região de convergência.

Propriedades de ROC da Transformada de Laplace

ROC contém linhas paralelas ao eixo jω no plano s.
Se x (t) é absolutamente integral e de duração finita, então ROC é o plano s inteiro.
Se x (t) é uma sequência do lado direito, então ROC: Re {s}> σ _o .
Se x (t) é uma sequência do lado esquerdo, então ROC: Re {s} <σ _o .
Se x (t) é uma sequência de dois lados, então ROC é a combinação de duas regiões.

O ROC pode ser explicado fazendo uso dos exemplos abaixo:

Example 1: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e-^{at}u(t)$

$ LT [x (t)] = LT [e - ^ {at} u (t)] = {1 \ sobre S + a} $

$ Re {} \ gt -a $

$ ROC: Re {s} \ gt> -a $

Example 2: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{at}u(-t)$

$ LT [x (t)] = LT [e ^ {at} u (t)] = {1 \ sobre Sa} $

$ Re {s} <a $

$ ROC: Re {s} <a $

Example 3: Find the Laplace transform and ROC of $x(t) = e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)$

$ LT [x (t)] = LT [e ^ {- at} u (t) + e ^ {at} u (-t)] = {1 \ over S + a} + {1 \ over Sa} $

Para $ {1 \ over S + a} Re \ {s \} \ gt -a $

Por $ {1 \ over Sa} Re \ {s \} \ lt a $

Com referência ao diagrama acima, a região de combinação varia de –a a a. Conseqüentemente,

$ ROC: -a <Re {s} <a $

Para um sistema ser causal, todos os pólos de sua função de transferência devem estar na metade direita do plano s.
Um sistema é considerado estável quando todos os pólos de sua função de transferência estão na metade esquerda do plano s.
Um sistema é considerado instável quando pelo menos um pólo de sua função de transferência é deslocado para a metade direita do plano s.
Diz-se que um sistema é marginalmente estável quando pelo menos um pólo de sua função de transferência está no eixo jω do plano s.