A transformada de Hilbert de um sinal x (t) é definida como a transformação na qual o ângulo de fase de todos os componentes do sinal é deslocado por $ \ pm \ text {90} ^ o $.
A transformação de Hilbert de x (t) é representada por $ \ hat {x} (t) $, e é dada por
$$ \ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk $$
A transformada inversa de Hilbert é dada por
$$ \ hat {x} (t) = {1 \ over \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x (k) \ over tk} dk $$
x (t), $ \ hat {x} $ (t) é chamado de par de transformação de Hilbert.
Propriedades da transformada de Hilbert
Um sinal x (t) e sua transformação de Hilbert $ \ hat {x} $ (t) têm
O mesmo espectro de amplitude.
A mesma função de autocorrelação.
A densidade espectral de energia é a mesma para x (t) e $ \ hat {x} $ (t).
x (t) e $ \ hat {x} $ (t) são ortogonais.
A transformação de Hilbert de $ \ hat {x} $ (t) é -x (t)
Se a transformada de Fourier existe, então a transformada de Hilbert também existe para sinais de energia e potência.