Séries de Fourier

Jean Baptiste Joseph Fourier,um matemático francês e um físico; nasceu em Auxerre, França. Ele inicializou a série Fourier, transformadas de Fourier e suas aplicações para problemas de transferência de calor e vibrações. A série de Fourier, as transformadas de Fourier e a Lei de Fourier são nomeadas em sua homenagem.

Jean Baptiste Joseph Fourier (21 de março de 1768 - 16 de maio de 1830)

Séries de Fourier

Para representar qualquer sinal periódico x (t), Fourier desenvolveu uma expressão chamada série de Fourier. Isso é em termos de uma soma infinita de senos e cossenos ou exponenciais. A série de Fourier usa a condição de ortogonalidade.

Representação da série de Fourier de sinais periódicos de tempo contínuo

Um sinal é considerado periódico se ele satisfaz a condição x (t) = x (t + T) ou x (n) = x (n + N).

Onde T = período de tempo fundamental,

    ω 0 = frequência fundamental = 2π / T

Existem dois sinais periódicos básicos:

$ x (t) = \ cos \ omega_0t $ (sinusoidal) &

$ x (t) = e ^ {j \ omega_0 t} $ (exponencial complexo)

Esses dois sinais são periódicos com período $ T = 2 \ pi / \ omega_0 $.

Um conjunto de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas pode ser representado como {$ \ phi_k (t) $}

$$ {\ phi_k (t)} = \ {e ^ {jk \ omega_0t} \} = \ {e ^ {jk ({2 \ pi \ over T}) t} \} \ texto {onde} \, k = 0 \ pm 13, \ pm 2 ..n \, \, \, ..... (1) $$

Todos esses sinais são periódicos com período T

De acordo com a aproximação de espaço de sinal ortogonal de uma função x (t) com n, funções mutuamente ortogonais são dadas por

$$ x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0t} ..... (2) $$

$$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_kk e ^ {jk \ omega_0t} $$

Onde $ a_k $ = coeficiente de Fourier = coeficiente de aproximação.

Este sinal x (t) também é periódico com o período T.

A Equação 2 representa a representação da série de Fourier do sinal periódico x (t).

O termo k = 0 é constante.

O termo $ k = \ pm1 $ tendo a frequência fundamental $ \ omega_0 $, é chamado de harmônico.

O termo $ k = \ pm2 $ tendo a frequência fundamental $ 2 \ omega_0 $, é chamado de harmônico e assim por diante ...

O termo $ k = ± n $ tendo a frequência fundamental $ n \ omega0 $, é chamado de n- ésimas harmônicas.

Derivando o coeficiente de Fourier

Sabemos que $ x (t) = \ Sigma_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t} ...... (1) $

Multiplique $ e ^ {- jn \ omega_0 t} $ em ambos os lados. Então

$$ x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} $$

Considere integral em ambos os lados.

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {jk \ omega_0 t}. e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

$$ \ quad \ quad \ quad \ quad \, \, = \ int_ {0} ^ {T} \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} . dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {jk \ omega_0 t} dt = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. \, \, ..... (2) $$

pela fórmula de Euler,

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ int_ {0} ^ {T} \ cos (kn) \ omega_0 dt + j \ int_ {0} ^ {T} \ sin (kn) \ omega_0t \, dt $$

$$ \ int_ {0} ^ {T} e ^ {j (kn) \ omega_0 t} dt. = \ left \ {\ begin {array} {ll} T & \ quad k = n \\ 0 & \ quad k \ neq n \ end {array} \ right. $$

Portanto, na equação 2, a integral é zero para todos os valores de k, exceto em k = n. Coloque k = n na equação 2.

$$ \ Rightarrow \ int_ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- jn \ omega_0 t} dt = a_n T $$

$$ \ Rightarrow a_n = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jn \ omega_0 t} dt $$

Substitua n por k.

$$ \ Rightarrow a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$

$$ \ portanto x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {\ infty} a_k e ^ {j (kn) \ omega_0 t} $$

$$ \ text {where} a_k = {1 \ over T} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- jk \ omega_0 t} dt $$