Lógica Fuzzy - Teoria dos Conjuntos

Os conjuntos fuzzy podem ser considerados uma extensão e uma simplificação grosseira dos conjuntos clássicos. Ele pode ser mais bem compreendido no contexto da associação do conjunto. Basicamente, ele permite uma associação parcial, o que significa que contém elementos que possuem vários graus de associação no conjunto. A partir disso, podemos entender a diferença entre o conjunto clássico e o conjunto fuzzy. O conjunto clássico contém elementos que satisfazem propriedades precisas de associação, enquanto o conjunto fuzzy contém elementos que satisfazem propriedades imprecisas de associação.

Conceito Matemático

Um conjunto fuzzy $ \ widetilde {A} $ no universo de informação $ U $ pode ser definido como um conjunto de pares ordenados e pode ser representado matematicamente como -

$$ \ widetilde {A} = \ esquerda \ {\ esquerda (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ esquerda (y \ direita) \ direita) | y \ in U \ right \} $$

Aqui $ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) $ = grau de associação de $ y $ em \ widetilde {A}, assume valores no intervalo de 0 a 1, ou seja, $ \ mu _ {\ widetilde {A}} (y) \ in \ left [0,1 \ right] $.

Representação de conjunto fuzzy

Vamos agora considerar dois casos de universo de informação e entender como um conjunto fuzzy pode ser representado.

Caso 1

Quando o universo de informação $ U $ é discreto e finito -

$$ \ widetilde {A} = \ esquerda \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ esquerda (y_1 \ direita)} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_3 \ right)} {y_3} + ... \ right \} $$

$ = \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_i \ right)} {y_i} \ right \} $

Caso 2

Quando o universo de informação $ U $ é contínuo e infinito -

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)} {y} \ right \} $$

Na representação acima, o símbolo de soma representa a coleção de cada elemento.

Operações em conjuntos difusos

Tendo dois conjuntos fuzzy $ \ widetilde {A} $ e $ \ widetilde {B} $, o universo de informação $ U $ e um elemento do universo, as seguintes relações expressam a operação de união, intersecção e complemento em conjuntos fuzzy.

União / Fuzzy 'OU'

Vamos considerar a seguinte representação para entender como o Union/Fuzzy ‘OR’ relação funciona -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ vee \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Aqui, ∨ representa a operação 'max'.

Interseção / Fuzzy 'AND'

Vamos considerar a seguinte representação para entender como o Intersection/Fuzzy ‘AND’ relação funciona -

$$ \ mu _ {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} \ left (y \ right) = \ mu _ {\ widetilde {A}} \ wedge \ mu _ \ widetilde {B} \ quad \ forall y \ in U $$

Aqui, ∧ representa a operação 'min'.

Complemento / Fuzzy 'NÃO'

Vamos considerar a seguinte representação para entender como o Complement/Fuzzy ‘NOT’ relação funciona -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} = 1- \ mu _ {\ widetilde {A}} \ esquerda (y \ direita) \ quad y \ em U $$

Propriedades de conjuntos difusos

Vamos discutir as diferentes propriedades dos conjuntos fuzzy.

Propriedade comutativa

Tendo dois conjuntos difusos $ \ widetilde {A} $ e $ \ widetilde {B} $, esta propriedade afirma -

$$ \ widetilde {A} \ xícara \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ xícara \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} = \ widetilde {B} \ cap \ widetilde {A} $$

Propriedade associativa

Tendo três conjuntos fuzzy $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ e $ \ widetilde {C} $, esta propriedade afirma -

$$ (\ widetilde {A} \ xícara \ esquerda \ widetilde {B}) \ xícara \ widetilde {C} \ direita = \ esquerda \ widetilde {A} \ xícara (\ widetilde {B} \ direita) \ xícara \ widetilde {C}) $$

$$ (\ widetilde {A} \ cap \ left \ widetilde {B}) \ cap \ widetilde {C} \ right = \ left \ widetilde {A} \ cup (\ widetilde {B} \ right \ cap \ widetilde { C}) $$

Propriedade distributiva

Tendo três conjuntos fuzzy $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ e $ \ widetilde {C} $, esta propriedade afirma -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ left (\ widetilde {B} \ cap \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B} \ right) \ cap \ left (\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {C} \ right) $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ left (\ widetilde {B} \ cup \ widetilde {C} \ right) = \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B} \ right) \ cup \ left (\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {C} \ right) $$

Propriedade Idempotência

Para qualquer conjunto fuzzy $ \ widetilde {A} $, esta propriedade afirma -

$$ \ widetilde {A} \ xícara \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ widetilde {A} = \ widetilde {A} $$

Propriedade de identidade

Para o conjunto fuzzy $ \ widetilde {A} $ e o conjunto universal $ U $, esta propriedade afirma -

$$ \ widetilde {A} \ cup \ varphi = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap U = \ widetilde {A} $$

$$ \ widetilde {A} \ cap \ varphi = \ varphi $$

$$ \ widetilde {A} \ xícara U = U $$

Propriedade transitiva

Tendo três conjuntos fuzzy $ \ widetilde {A} $, $ \ widetilde {B} $ e $ \ widetilde {C} $, esta propriedade afirma -

$$ If \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {B} \ subseteq \ widetilde {C}, \: then \: \ widetilde {A} \ subseteq \ widetilde {C} $$

Propriedade de Involução

Para qualquer conjunto fuzzy $ \ widetilde {A} $, esta propriedade afirma -

$$ \ overline {\ overline {\ widetilde {A}}} = \ widetilde {A} $$

Lei De Morgan

Esta lei desempenha um papel crucial em provar tautologias e contradições. Esta lei declara -

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cap \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cup \ overline {\ widetilde {B}} $$

$$ \ overline {{\ widetilde {A} \ cup \ widetilde {B}}} = \ overline {\ widetilde {A}} \ cap \ overline {\ widetilde {B}} $$