Lógica Fuzzy - Teoria Clássica dos Conjuntos
UMA seté uma coleção não ordenada de diferentes elementos. Ele pode ser escrito explicitamente listando seus elementos usando o conjunto de colchetes. Se a ordem dos elementos for alterada ou qualquer elemento de um conjunto for repetido, não haverá nenhuma alteração no conjunto.
Exemplo
- Um conjunto de todos os inteiros positivos.
- Um conjunto de todos os planetas do sistema solar.
- Um conjunto de todos os estados da Índia.
- Um conjunto de todas as letras minúsculas do alfabeto.
Representação Matemática de um Conjunto
Os conjuntos podem ser representados de duas maneiras -
Lista ou Formulário Tabular
Nesta forma, um conjunto é representado listando todos os elementos que o compõem. Os elementos são colocados entre colchetes e separados por vírgulas.
A seguir estão os exemplos de conjunto em Roster ou Tabular Form -
- Conjunto de vogais no alfabeto inglês, A = {a, e, i, o, u}
- Conjunto de números ímpares menores que 10, B = {1,3,5,7,9}
Definir notação do construtor
Nesta forma, o conjunto é definido especificando uma propriedade que os elementos do conjunto têm em comum. O conjunto é descrito como A = {x: p (x)}
Example 1 - O conjunto {a, e, i, o, u} é escrito como
A = {x: x é uma vogal do alfabeto inglês}
Example 2 - O conjunto {1,3,5,7,9} é escrito como
B = {x: 1 ≤ x <10 e (x% 2) ≠ 0}
Se um elemento x é membro de qualquer conjunto S, ele é denotado por x∈S e se um elemento y não é membro do conjunto S, é denotado por y∉S.
Example - Se S = {1,1.2,1.7,2}, 1 ∈ S mas 1,5 ∉ S
Cardinalidade de um conjunto
A cardinalidade de um conjunto S, denotada por | S || S |, é o número de elementos do conjunto. O número também é conhecido como número cardinal. Se um conjunto possui um número infinito de elementos, sua cardinalidade é ∞∞.
Example- | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞
Se houver dois conjuntos X e Y, | X | = | Y | denota dois conjuntos X e Y com a mesma cardinalidade. Ocorre quando o número de elementos em X é exatamente igual ao número de elementos em Y. Nesse caso, existe uma função bijetiva 'f' de X a Y.
| X | ≤ | Y | denota que a cardinalidade do conjunto X é menor ou igual à cardinalidade do conjunto Y. Ocorre quando o número de elementos em X é menor ou igual ao de Y. Aqui, existe uma função injetiva 'f' de X a Y.
| X | <| Y | denota que a cardinalidade do conjunto X é menor do que a cardinalidade do conjunto Y. Ocorre quando o número de elementos em X é menor do que Y. Aqui, a função 'f' de X a Y é injetiva, mas não bijetiva.
Se | X | ≤ | Y | e | X | ≤ | Y | então | X | = | Y | . Os conjuntos X e Y são comumente referidos comoequivalent sets.
Tipos de Conjuntos
Os conjuntos podem ser classificados em vários tipos; alguns dos quais são finitos, infinitos, subconjuntos, universais, próprios, conjuntos singleton, etc.
Conjunto Finito
Um conjunto que contém um número definido de elementos é chamado de conjunto finito.
Example - S = {x | x ∈ N e 70> x> 50}
Conjunto Infinito
Um conjunto que contém um número infinito de elementos é chamado de conjunto infinito.
Example - S = {x | x ∈ N e x> 10}
Subconjunto
Um conjunto X é um subconjunto do conjunto Y (escrito como X ⊆ Y) se cada elemento de X for um elemento do conjunto Y.
Example 1- Seja, X = {1,2,3,4,5,6} e Y = {1,2}. Aqui, o conjunto Y é um subconjunto do conjunto X, visto que todos os elementos do conjunto Y estão no conjunto X. Portanto, podemos escrever Y⊆X.
Example 2- Seja, X = {1,2,3} e Y = {1,2,3}. Aqui, o conjunto Y é um subconjunto (não um subconjunto adequado) do conjunto X, pois todos os elementos do conjunto Y estão no conjunto X. Portanto, podemos escrever Y⊆X.
Subconjunto próprio
O termo “subconjunto adequado” pode ser definido como “subconjunto de, mas não igual a”. Um Conjunto X é um subconjunto apropriado do conjunto Y (escrito como X ⊂ Y) se cada elemento de X for um elemento do conjunto Y e | X | <| Y |.
Example- Seja, X = {1,2,3,4,5,6} e Y = {1,2}. Aqui, defina Y ⊂ X, uma vez que todos os elementos em Y estão contidos em X também e X tem pelo menos um elemento que é mais do que o conjunto Y.
Conjunto universal
É uma coleção de todos os elementos em um determinado contexto ou aplicativo. Todos os conjuntos nesse contexto ou aplicativo são essencialmente subconjuntos desse conjunto universal. Conjuntos universais são representados como U.
Example- Podemos definir U como o conjunto de todos os animais da terra. Nesse caso, um conjunto de todos os mamíferos é um subconjunto de U, um conjunto de todos os peixes é um subconjunto de U, um conjunto de todos os insetos é um subconjunto de U e assim por diante.
Conjunto vazio ou conjunto nulo
Um conjunto vazio não contém elementos. É denotado por Φ. Como o número de elementos em um conjunto vazio é finito, o conjunto vazio é um conjunto finito. A cardinalidade do conjunto vazio ou conjunto nulo é zero.
Example - S = {x | x ∈ N e 7 <x <8} = Φ
Conjunto de singleton ou conjunto de unidade
Um conjunto Singleton ou conjunto de unidades contém apenas um elemento. Um conjunto singleton é denotado por {s}.
Example - S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}
Conjunto igual
Se dois conjuntos contêm os mesmos elementos, eles são considerados iguais.
Example - Se A = {1,2,6} e B = {6,1,2}, eles são iguais, pois cada elemento do conjunto A é um elemento do conjunto B e cada elemento do conjunto B é um elemento do conjunto A.
Conjunto Equivalente
Se as cardinalidades de dois conjuntos são iguais, eles são chamados de conjuntos equivalentes.
Example- Se A = {1,2,6} e B = {16,17,22}, eles são equivalentes, pois a cardinalidade de A é igual à cardinalidade de B. ie | A | = | B | = 3
Conjunto Sobreposto
Dois conjuntos que possuem pelo menos um elemento comum são chamados de conjuntos sobrepostos. Em caso de conjuntos sobrepostos -
$$ n \ esquerda (A \ xícara B \ direita) = n \ esquerda (A \ direita) + n \ esquerda (B \ direita) - n \ esquerda (A \ cap B \ direita) $$
$$ n \ esquerda (A \ xícara B \ direita) = n \ esquerda (AB \ direita) + n \ esquerda (BA \ direita) + n \ esquerda (A \ cap B \ direita) $$
$$ n \ esquerda (A \ direita) = n \ esquerda (AB \ direita) + n \ esquerda (A \ cap B \ direita) $$
$$ n \ esquerda (B \ direita) = n \ esquerda (BA \ direita) + n \ esquerda (A \ cap B \ direita) $$
Example- Seja, A = {1,2,6} e B = {6,12,42}. Há um elemento comum '6', portanto, esses conjuntos são conjuntos sobrepostos.
Conjunto Disjunto
Dois conjuntos A e B são chamados de conjuntos disjuntos se não tiverem nem mesmo um elemento em comum. Portanto, os conjuntos separados têm as seguintes propriedades -
$$ n \ left (A \ cap B \ right) = \ phi $$
$$ n \ esquerda (A \ xícara B \ direita) = n \ esquerda (A \ direita) + n \ esquerda (B \ direita) $$
Example - Sejam A = {1,2,6} e B = {7,9,14}, não há um único elemento comum, portanto, esses conjuntos são conjuntos sobrepostos.
Operações em conjuntos clássicos
As operações de conjunto incluem União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença de conjuntos, Complemento de conjunto e Produto cartesiano.
União
A união dos conjuntos A e B (denotados por A ∪ BA ∪ B) é o conjunto de elementos que estão em A, em B, ou em A e B. Logo, A ∪ B = {x | x ∈ A OR x ∈ B}.
Example - Se A = {10,11,12,13} e B = {13,14,15}, então A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} - O elemento comum ocorre apenas uma vez.
Interseção
A interseção dos conjuntos A e B (denotada por A ∩ B) é o conjunto de elementos que estão em A e B. Portanto, A ∩ B = {x | x ∈ A AND x ∈ B}.
Diferença / Complemento Relativo
A diferença de conjunto dos conjuntos A e B (denotada por A – B) é o conjunto de elementos que estão apenas em A, mas não em B. Portanto, A - B = {x | x ∈ A AND x ∉ B}.
Example- Se A = {10,11,12,13} e B = {13,14,15}, então (A - B) = {10,11,12} e (B - A) = {14,15} . Aqui, podemos ver (A - B) ≠ (B - A)
Complemento de um Conjunto
O complemento de um conjunto A (denotado por A ′) é o conjunto de elementos que não estão no conjunto A. Portanto, A ′ = {x | x ∉ A}.
Mais especificamente, A ′ = (U − A) onde U é um conjunto universal que contém todos os objetos.
Example - Se A = {x | x pertence ao conjunto de inteiros adicionados} então A ′ = {y | y não pertence ao conjunto de inteiros ímpares}
Produto cartesiano / produto cruzado
O produto cartesiano de n número de conjuntos A1, A2,… An denotado como A1 × A2 ... × An pode ser definido como todos os pares ordenados possíveis (x1, x2,… xn) onde x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ An
Example - Se tomarmos dois conjuntos A = {a, b} e B = {1,2},
O produto cartesiano de A e B é escrito como - A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}
E, o produto cartesiano de B e A é escrito como - B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
Propriedades de conjuntos clássicos
As propriedades nos conjuntos desempenham um papel importante para a obtenção da solução. A seguir estão as diferentes propriedades dos conjuntos clássicos -
Propriedade comutativa
Tendo dois conjuntos A e B, esta propriedade declara -
$$ A \ xícara B = B \ xícara A $$
$$ A \ cap B = B \ cap A $$
Propriedade associativa
Tendo três conjuntos A, B e C, esta propriedade declara -
$$ A \ xícara \ esquerda (B \ xícara C \ direita) = \ esquerda (A \ xícara B \ direita) \ xícara C $$
$$ A \ cap \ left (B \ cap C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cap C $$
Propriedade distributiva
Tendo três conjuntos A, B e C, esta propriedade declara -
$$ A \ xícara \ esquerda (B \ cap C \ direita) = \ esquerda (A \ xícara B \ direita) \ cap \ esquerda (A \ xícara C \ direita) $$
$$ A \ cap \ left (B \ cup C \ right) = \ left (A \ cap B \ right) \ cup \ left (A \ cap C \ right) $$
Propriedade Idempotência
Para qualquer conjunto A, esta propriedade declara -
$$ A \ xícara A = A $$
$$ A \ cap A = A $$
Propriedade de identidade
Para definir A e conjunto universal X, esta propriedade declara -
$$ A \ xícara \ varphi = A $$
$$ A \ cap X = A $$
$$ A \ cap \ varphi = \ varphi $$
$$ A \ xícara X = X $$
Propriedade transitiva
Tendo três conjuntos A, B e C, a propriedade declara -
Se $ A \ subseteq B \ subseteq C $, então $ A \ subseteq C $
Propriedade de Involução
Para qualquer conjunto A, esta propriedade declara -
$$ \ overline {{\ overline {A}}} = A $$
Lei De Morgan
É uma lei muito importante e auxilia na comprovação de tautologias e contradições. Esta lei declara -
$$ \ overline {A \ cap B} = \ overline {A} \ xícara \ overline {B} $$
$$ \ overline {A \ cup B} = \ overline {A} \ cap \ overline {B} $$