Lógica Fuzzy - Função de Associação

Já sabemos que a lógica difusa não é a lógica difusa, mas a lógica usada para descrever a imprecisão. Essa imprecisão é melhor caracterizada por sua função de pertinência. Em outras palavras, podemos dizer que a função de pertinência representa o grau de verdade na lógica fuzzy.

A seguir estão alguns pontos importantes relacionados à função de adesão -

• As funções de associação foram introduzidas pela primeira vez em 1965 por Lofti A. Zadeh em seu primeiro artigo de pesquisa “conjuntos fuzzy”.

• As funções de associação caracterizam a imprecisão (ou seja, todas as informações em um conjunto fuzzy), sejam os elementos em conjuntos fuzzy discretos ou contínuos.

• As funções de associação podem ser definidas como uma técnica para resolver problemas práticos por experiência, em vez de conhecimento.

• As funções de associação são representadas por formulários gráficos.

• As regras para definir imprecisão também são difusas.

Notação Matemática

Já estudamos que um conjunto fuzzy à no universo de informação U pode ser definido como um conjunto de pares ordenados e pode ser representado matematicamente como -

$$ \ widetilde {A} = \ esquerda \ {\ esquerda (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ esquerda (y \ direita) \ direita) | y \ in U \ right \} $$

Aqui $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ = função de pertinência de $ \ widetilde {A} $; isto assume valores no intervalo de 0 a 1, ou seja, $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) \ in \ left [0,1 \ right] $. A função de associação $ \ mu \ widetilde {A} \ left (\ bullet \ right) $ mapeia $ U $ para o espaço de associação $ M $.

O ponto $ \ left (\ bullet \ right) $ na função de pertinência descrita acima, representa o elemento em um conjunto fuzzy; se é discreto ou contínuo.

Características das funções de membro

Vamos agora discutir os diferentes recursos das funções de associação.

Testemunho

Para qualquer conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, o núcleo de uma função de pertinência é aquela região do universo que é caracterizada pela associação total ao conjunto. Portanto, o núcleo consiste em todos os elementos $ y $ do universo de informações, de modo que,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) = 1 $$

Apoio, suporte

Para qualquer conjunto difuso $ \ widetilde {A} $, o suporte de uma função de associação é a região do universo que é caracterizada por uma associação diferente de zero no conjunto. Portanto, o núcleo consiste em todos os elementos $ y $ do universo de informações, de modo que,

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

fronteira

Para qualquer conjunto fuzzy $ \ widetilde {A} $, o limite de uma função de pertinência é a região do universo que é caracterizada por uma associação diferente de zero, mas incompleta no conjunto. Portanto, o núcleo consiste em todos os elementos $ y $ do universo de informações, de modo que,

$$ 1> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)> 0 $$

Fuzzificação

Pode ser definido como o processo de transformar um conjunto nítido em um conjunto fuzzy ou um conjunto fuzzy em um conjunto fuzzier. Basicamente, essa operação converte valores de entrada nítidos precisos em variáveis ​​linguísticas.

A seguir estão os dois métodos importantes de fuzzificação -

Método de Fuzzificação de Suporte (s-fuzzificação)

Neste método, o conjunto fuzzificado pode ser expresso com a ajuda da seguinte relação -

$$ \ widetilde {A} = \ mu _1Q \ left (x_1 \ right) + \ mu _2Q \ left (x_2 \ right) + ... + \ mu _nQ \ left (x_n \ right) $$

Aqui, o conjunto fuzzy $ Q \ left (x_i \ right) $ é chamado de kernel de fuzzificação. Este método é implementado mantendo $ \ mu _i $ constante e $ x_i $ sendo transformado em um conjunto fuzzy $ Q \ left (x_i \ right) $.

Método de Fuzzificação de Graus (g-fuzzificação)

É bastante semelhante ao método acima, mas a principal diferença é que ele manteve $ x_i $ constante e $ \ mu _i $ é expresso como um conjunto fuzzy.

Defuzzificação

Pode ser definido como o processo de redução de um conjunto difuso em um conjunto crisp ou para converter um membro difuso em um membro crisp.

Já estudamos que o processo de fuzzificação envolve a conversão de quantidades nítidas em quantidades fuzzy. Em uma série de aplicações de engenharia, é necessário defuzzificar o resultado, ou melhor, “resultado fuzzy” para que seja convertido em um resultado nítido. Matematicamente, o processo de Defuzzificação também é chamado de “arredondamento”.

Os diferentes métodos de defuzzificação são descritos abaixo -

Método de associação máxima

Este método é limitado às funções de pico de saída e também conhecido como método de altura. Matematicamente, pode ser representado da seguinte forma -

$$ \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x ^ * \ right)> \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) \: para \: todos \: x \ in X $$

Aqui, $ x ^ * $ é a saída defuzzificada.

Método Centroid

Esse método também é conhecido como método do centro de área ou do centro de gravidade. Matematicamente, a saída defuzzificada $ x ^ * $ será representada como -

$$ x ^ * = \ frac {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) .xdx} {\ int \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (x \ right) ) .dx} $$

Método da média ponderada

Nesse método, cada função de associação é ponderada por seu valor máximo de associação. Matematicamente, a saída defuzzificada $ x ^ * $ será representada como -

$$ x ^ * = \ frac {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (\ overline {x_i} \ right). \ overline {x_i}} {\ sum \ mu _ {\ widetilde {A }} \ left (\ overline {x_i} \ right)} $$

Associação Média-Máxima

Este método também é conhecido como meio dos máximos. Matematicamente, a saída defuzzificada $ x ^ * $ será representada como -

$$ x ^ * = \ frac {\ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ overline {x_i}} {n} $$